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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 T otale Analisi Matematica I e Geometria Parte B Docenti: E. Beretta, M. Boella, M. Citterio, R. Notari 19 febbraio 2014 Cognome: Nome: Matricola: 1. Determinare dominio, eventuali simmetrie, segno, comportamento agli estremi del dominio, eventuali asintoti, intervalli di monotonia, estremi relativi, e tracciare un grafico qualitativo della funzione f(x) =x 3 √ x3− 1 x3 + 1 . Non ` e richiesta la derivata seconda ed il suo studio. 2. Calcolare l’integrale ∫ 3 1 x +√x− 1 x + 1 dx. L’integrale calcolato rappresenta l’area tra l’asse x ed il grafico della funzione integranda nel dominio considerato? 3. Sono dati il punto A e la retta r A(2, 1, 1) , r :    x = 1−t y =t z = 1 +t (t∈ R). a) Scrivere una rappresentazione parametrica della retta s per A , perpendicolare ed incidente r . b) Scrivere l’equazione cartesiana del piano α contenente r ed A . c) Determinare la posizione relativa di α ed s . 4. a) Determinare i numeri complessi z di modulo 2 che verificano l’equazione z3¯z +z¯z3 = 16. b) Determinare il minimo n∈ N e l’unico w∈ C in modo che l’equazione xn = w abbia tra le sue soluzioni quelle del punto precedente. 5. Al variare del parametro reale a , studiare il carattere della serie +∞∑ n=1 (√ n + 1−√n ) (1− cos(na)) . Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Analisi Matematica I e Geometria Parte A Docenti: E. Beretta, M. Boella, M. Citterio, R. Notari 19 febbraio 2014 Cognome: Nome: Matricola: 1. Enunciare e dimostrare il Teorema del valor medio di Lagrange. 2. a) Enunciare il Teorema di Weierstrass. b) Data una funzione g : R→ R continua, si consideri la funzione f (x) = g(cos(x)) al variare di x∈ R . Dimostrare che f ammette massimo e minimo. 3. a) Enunciare il Teorema del confronto per successioni. b) Date due successioni {an} e {bn} tali che 0 ≤…