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Analisi Mat. 2 e Compl. di Alg. Lineare – IEC – prof. Citrini 1° appello – 19 giugno 2018 Prova1Edi_An2_2018_sol.docx 1/5 23/06/2018 COGNOME …………………… Nome ……………… Matr. ………… Firma …………………… Dichiaro di aver preso visione delle regole di esame e in particolare dei punti l-m-n-o. Firma …………………… Esercizio 1 a b c d 2e f g h 3i 4 j k 5 l m n Total e Punteggio 3 3 3 2 1 1 1 2 3 2 4 2 3 3 33 Voto Tempo a disposizione: 2 h 30’. Consegnare solo questi fogli. Per ogni esercizio, indicare la risposta nell’appos ito spazio e giustificarla per sommi capi. Scrivere eventualmente qualche passaggio sul retro. Non è ammesso l’uso di libri, appunti e dispositivi elettronici. 1. Data la matrice A =
 +1 3 4 3 +1 −2  +2 a) studiarne il rango e determinarne il nucleo al variare del parametro reale a. Si ha det A = –2 ( a2 –3a – 4) = 0 per a = –4 e a = 1. Pertanto in generale rk(A) = 3, e il nucleo si riduce al solo vettore nullo. Risulta poi A(–4) =
−4 −3 3 4 3 −3 −6 −4 −2 , che ha rango 2 (la prima riga è l’opposta della seconda, ma la terza è indipendente). Il nucleo è generato dal vettore [–9, 13, 1] T. A(1) =
1 2 3 4 3 2 −1 1 3 , che ha pure rango 2; la relazione tra le righe è 7 I – 3 II – 5 III = 0). Il nucleo è generato da [1, –2, 1] T (la seconda colonna è media delle altre due). b) Stabilire quando è risolubile il sistema A x = b , con b = [9, 2a –1, a]T, determinandone le soluzioni quando manchi l’unicità Il sistema ha una e una sola soluzione per a ≠ –4, 1. Per a = –4, il sistema è −4 −3 +3 = 9 4 +3 −3 =−9 −6 −4 −2 = −4 , e la prima equazione equivale alla seconda, per cui esistono infinite soluzioni. Una di queste si ottiene p.es. ponendo z = 0 e ottenendo il sistema 4 +3 = −9 3 +2 =2 , che ammette la soluzione x = 24, y = –35, da cui la soluzione generale
24…