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Politecnico di Milano Ingegneria Industriale e dell’Informazione Analisi Matematica II Secondo appello – 19 Luglio 2018 Cognome: Matricola: Nome: Es.1: 7 punti Es.2: 8 punti Es.3: 10 punti Es.4: 7 punti T otale 1. (a) Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale y′(x)− 1 1 +x2 y(x) =x ex+artgx. (b) Determinare la soluzione particolare dell’equazione data tale che y(1) = eπ . (c) Stabilire se esistono delle soluzioni particolari che ammettono la retta di equazione y = eπ come asintoto orizzontale per x→−∞ . 2. Si consideri la curva γ :    x =t + et y =t− et z = et t∈ [−1, 1]. (a) Stabilire se γ ` e piana. (b) Determinare i versori della terna intrinseca per t = 0 . (c) Calcolare l’integrale di linea I = ∫ γ √ 6 + (x−y +z)2 ds. 3. Sia f : R2→ R la funzione definita da f(x,y ) =x ey−y ex. (a) Stabilire se x0 = (1, 1) ` e un punto critico di f . In caso affermativo, stabilirne la natura. (b) Calcolare la derivata direzionale di f in 0 = (0, 0) lungo la direzione individuata dalla semiretta OP , dove O≡ (0, 0) e P≡ (3, √ 3) . (c) Calcolare l’integrale I = ∫∫ Ω f(x,y ) dx dy dove Ω ={(x,y )∈ R2 : x2 +y2≤r2, x,y≥ 0}. 4. Si consideri il campo vettoriale F = (y2 +yz, 2xy +xz +z2,xy + 2yz). (a) Dimostrare che il campo F ` e conservativo in R3 . (b) Determinare un potenziale di F . (c) Calcolare il lavoro di F lungo un qualunque cammino che colleghi il punto A≡ (1, 1, 1) al punto B≡ (1,−1,−1) . Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. T empo. 2 ore. 1  
Soluzioni 1. (a) L’equazione differenziale data ` e lineare del primo…