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08 Settembre 2020 — Esercizi Domanda A Alcuni studenti sosterranno un esame di mattina e sapranno l’esito subito dopo. Sosterranno poi un altro esame nel pomeriggio. Supponiamo che uno studente abbia probabilit` a 9/10 di superare l’esame della mattina, mentre la probabilit` a di superare quello del pomeriggio ` e 4/5, se ha gi` a superato quello della mattina (causa stanchezza), e 3 /5, se non ha superato l’esame della mattina (causa scoraggiamento che si somma alla stanchezza). Domanda A.1 Quale sar` a la probabilit` a di superare l’esame del pomeriggio? Soluzione: Sia M l’evento “superato l’esame della mattina” e N “superato l’esame del pomeriggio”. Sappiamo che P (M) = 9 10, P (N|M) = 4 5, P (N|M c) = 3 5. quindi P (N) = P (N|M) P (M) + P (N|M c) P (M c) = 9 10 4 5 + 1 10 3 5 = 36 + 3 50 = 39 50 Domanda A.2 Calcolare la probabilit` a di superare solo l’esame del pomeriggio? Soluzione: P (M c∩N) = P (N|M c) P (M c) = 3 5 1 10 = 3 50 Domanda A.3 Un amico viene a sapere che uno studente ha superato l’esame del pomeriggio, senza sapere nulla di quello della mattina. Qual ` e la probabilit` a che quello studente abbia superato anche l’esame di mattina? Soluzione: P (M|N) = P (N|M) P (M) P (N) = 4 5 9 10 39 50 = 36 39 = 12 13 Domanda B Sia X,Y una coppia di variabili aleatorie con la seguente densit` a congiunta dipendente da un parametro θ∈ R X = 0 X = 1 X = 2 Y = 0 1/8 1/4 θ Y = 1 1/8 1/4 1/4−θ Domanda B.1 Quali valori pu` o assumere il parametroθ? Soluzione: I valori in tabella non possono essere negativi quindi 0≤θ≤ 1/4 Domanda B.2 Quali sono le densit` a marginali diX e Y ? Soluzione: X∼B(2, 1/2) Y ∼B(1, 5/8−θ) Domanda B.3 Trovare tutti i valori di θ per i quali X e Y sono indipendenti. Soluzione: Risulta P{X = 2,Y = 0} =θ e inoltre P{X = 2} = 1/4, P{Y = 0} =θ +…