2022 01 31 full ex

Page 1

Politecnico di Milano – Ingegneria Aerospaziale/Energetica/Meccanica Analisi e Geometria 1, A.A. 2021-2022, Scaglione RE-STEL Secondo appello – 31 Gennaio 2022 – Durata: 2 ore e 15 minuti Cognome e Nome: No iscrizione: Numero di matricola (6 cifre): Questionario (Totale = 20 punti) 1. (1 risposta corretta, 1 punto) Siaan una successione inR. (a) Se an→ 0 per n→ +∞, allora necessariamentean→ 0+ oppure an→ 0−. ⃝ (b) Non esiste il limite:limn→+∞ sin (1 n ) . ⃝ (c) Se{an} è una qualunque successione di numeri reali positivi tale chean+1 an → 1 per n→ +∞, allora{an} non tende a zero. ⃝ (d) Se an è crescente, allora ammette limite (finito o+∞). ✓ ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 2. (1 risposta corretta, 2 punti) L’equazione inC |z| =z + 1 (a) Ammette una soluzione e una soltanto.✓ ⃝ (b) Non ha soluzioni. ⃝ (c) Ha esattamete due soluzioni. ⃝ (d) Ammette infinite soluzioni. ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 3. (1 risposta corretta, 2 punti) Definiamo la funzione: g(x) = ( 1 +√x )√x x∈ [0, +∞) (a) Perx→ 0, g(x)→ 0. ⃝ (b) g è limitata. ⃝ (c) g non è monotòna. ⃝ (d) Esiste (finita) la derivata destra dig in x0 = 0. ✓ ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 4. (1 risposta corretta, 2 punti) Dato il parametroα> 0, il limite lim x→0 sinx (1− cosx)α (a) Vale 0 se e solo seα< 1. ⃝ (b) Vale 0 se e solo seα> 1 2. ⃝ (c) Vale 0 se e solo seα< 1 2. ✓ ⃝ (d) Vale 0 per ogniα> 0. ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 1 5. (1 risposta corretta, 2 punti) Definiamo:R f −→ R ∀x∈ R f (x) = esinx− sinx− 1 (a) f ammette uno e un solo zero. ⃝ (b) x =π/4 è un punto di minimo locale dif. ⃝ (c) f ammette infiniti zeri. ✓ ⃝ (d) f è illimitata. ⃝ (e) f′(x) = ecosx− cosx ⃝ 6. (1 risposta corretta, 1 punto) SiaF la funzione integrale così definita: F…