20220615 Soluzione esercizi II parziale e appello fila A

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Esercizi II prova in itinere e I appello (15/06/2022) – fila A Esercizio 1 (II parziale e appello) Un trasduttore di temperatura ha una FRF descrivibile con la seguente espressione: |𝐻|(Ω) = 𝑘 √Ω2τ2 + 1 ∠H(Ω) = arctan(−Ωτ) dove Ω è la pulsazione dell’input, 𝑘 = 1 𝑉 °𝐶 è la sensibilità statica e τ = 0.1 𝑠 è la costante di tempo del trasduttore. Il trasduttore è utilizzato per misurare una temperatura la cui funzione analitica è 𝑇(𝑡) = −2 − 5 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(2π ⋅ 𝑡 + π/6) + 𝑐𝑜𝑠(30π ⋅ 𝑡 − π/2). La tensione in uscita dal trasduttore viene acquisita con un convertitore AD operante a 20 Hz. Si richiede di rappresentare lo spettro in frequenza (modulo e fase) del segnale: - di temperatura analitica, prima della misura con la termocoppia - di tensione in uscita dal circuito di condizionamento della termocoppia - di tensione campionata Supponendo infine di avere a disposizione un filtro antialiasing, indicare, motivando la scelta, in quale posizione all’interno della catena di misura è opportuno posizionarlo. Soluzione La funzione analitica della temperatura 𝑇(𝑡) contiene tre componenti, di cui una costante e due armoniche. Per le componenti armoniche i procede riarrangiando l’espressione in “forma canonica” del tipo 𝐴 𝑐𝑜𝑠(2π𝑓 ⋅ 𝑡 + φ): −5𝑠𝑖𝑛(2π ⋅ 𝑡 + π 6) = −5𝑐𝑜𝑠 (2π ⋅ 𝑡 + π 6 − π 2) = 5𝑐𝑜𝑠 (2π ⋅ 𝑡 + π 6 − π 2 + π) = 5𝑐𝑜𝑠 (2π ⋅ 1 ⋅ 𝑡 + 2π 3 ) 𝑐𝑜𝑠 (30π ⋅ 𝑡 − π 2) = 𝑐𝑜𝑠 (2π ⋅ 15 ⋅ 𝑡 − π 2) La funzione analitica è allora: 𝑇(𝑡) = −2 + 5𝑐𝑜𝑠 (2π ⋅ 1 ⋅ 𝑡 + 2π 3 ) + 𝑐𝑜𝑠 (2π ⋅ 15 ⋅ 𝑡 − π 2) Ricordando che per le componenti costanti il segno negativo si traduce in una fase \𝑝𝑚 \𝑝𝑖, si ricavano allora direttamente i valori di modulo e fase per le tre componenti: Funzione analitica in input Componente f [Hz] A 𝝋[°] 1 0 2 180 2 1 5 120 3 15 1 -90 La temperatura viene misurata con il trasduttore di…