20220706 Soluzione esercizi II parziale e appello

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Esercizi II prova in itinere e II appello (06/07/2022) Esercizio 1 (II parziale e appello) Un segnale analogico con la seguente espressione analitica x(𝑡) = 5 − 2 ⋅ 𝑐os (84π ⋅ 𝑡 + π 2) + 3 ⋅ 𝑠in (2π ⋅ 55 ⋅ 𝑡 − π 3) + 3 ⋅ 𝑐os(2π ⋅ 70 ⋅ 𝑡) viene processato con un filtro analogico la cui funzione di risposta in frequenza è rappresentata in figura. Il segnale 𝑦1(𝑡) in uscita dal filtro viene successivamente campionato con un convertitore AD che impiega una frequenza di campionamento pari a 40 Hz. Si richiede di: a) Rappresentare lo spettro del segnale analogico originale b) Rappresentare lo spettro del segnale a valle del filtro c) Rappresentare lo spettro del segnale digitale ottenuto dalla conversione AD d) Spiegare se ed eventualmente come, nel caso specifico proposto, è possibile ricostruire lo spettro corretto del segnale 𝑦1(𝑡) noto lo spettro del segnale campionato. NB. La fase del filtro è lineare rispetto alla frequenza e crea uno sfasamento di un giro in 100 Hz. Soluzione Il segnale analogico originale è formato da quattro componenti, una costante e tre armoniche. Per le componenti armoniche i procede riarrangiando l’espressione in “forma canonica” del tipo 𝐴 𝑐𝑜𝑠(2π𝑓 ⋅ 𝑡 + φ): −2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(84π ⋅ 𝑡 + π 2) = 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(2π ⋅ 42 ⋅ 𝑡 + π 2 − π) = 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(2π ⋅ 42 ⋅ 𝑡 − π 2) 3 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(2π ⋅ 55 ⋅ 𝑡 − π 3 − π) = 3 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(2π ⋅ 55 ⋅ 𝑡 − π 3 − π 2) = 3 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(2π ⋅ 55 ⋅ 𝑡 − 5π 6 ) Il segnale analitico è allora: x(𝑡) = 5 − 2 ⋅ 𝑐os (2π ⋅ 42 ⋅ 𝑡 − π 2) + 3 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(2π ⋅ 55 ⋅ 𝑡 − 5π 6 ) + 3 ⋅ 𝑐os(2π ⋅ 70 ⋅ 𝑡) Si possono ora ricavare le informazioni su ampiezza e fase necessarie per rappresentare lo spettro: Segnale analitico originale Componente f [Hz] A 𝝋[°] 1 0 5 0 2 42 2 -90 3 55 3 -150 4 70 3 0 Il segnale originale viene quindi processato dal filtro, che azzera l’ampiezza delle componenti…