20220901

Page 1

Meccanica Aerospaziale Prova d’esame del 1 Settembre 2022 - I Parte T empo a disposizione: 90′ Avvertenze • Il punteggio massimo attribuito a ciascuna domanda ` e riportato in parentesi []. • Un punteggio inferiore a 8 comporta l’insufficienza, quale che sia l’esito della II Parte. Esercizio Nel sistema rappresentato nella Figura, un disco omogeneo di raggio R e massa m ha il proprio centro C collegato, mediante una cerniera piana, all’estremit` a di un paletto, di altezza h e massa trascurabile, fissato verticalmente al terreno in un punto fisso O. L’asta omogenea AB, di lunghezza 2R e massa m, ha l’estremo A collegato alla circonferenza del disco mediante una cerniera piana che ne vincola la rotazione rispetto al disco nel piano individuato dai tre puntiO, C ed A. Descrivendo il moto del sistema mediante gli angoli θ e φ, indicati in figura: 1. Determinare le velocit` a angolari del disco e dell’asta, ωd e ωa, in funzione delle coordinate θ e φ e delle loro derivate temporali [2] 2. Determinare l’espressione della funzione di Lagrange del sistema, in funzione delle coordinate θ eφ e delle loro derivate temporali [4] 3. Scrivere le equazioni di Lagrange del sistema [2] 4. Mostrare che le equazioni trovate al punto precedente ammettono soluzioni in cui ˙θ eφ sono costanti e trovare la relazione che ne lega i valori [2] 5. Nel caso dei moti descritti nel punto precedente, determinare la reazione vincolare ⃗ΦA sull’asta in A. La coppia vincolare non ` e richiesta. [5] C m,R m,2R A B O θ φ h Figura 1: Schema del sistema 1