20230421 prima prova soluzioni

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1 Fondamenti di Automatica a.a. 2022-2023 Prof. Giulio Panzani 21 Aprile 2023 - Prima prova in itinere SOLUZIONI 2 Esercizio 1 Si consideri il sistema dinamico non lineare tempo invariante in forma di stato: ˙x1 = x2 1 + 2x1 + u ˙x2 = −x1x2 − 2x2 + (u − 1) y = x2 Domanda 1.1 Si determinino lo stato e l’uscita di equilibrio corrispondenti all’ingresso u = ¯u = 1. ¯x1 : ¯x2 : ¯y : All’equilibrio si ha: 0 = ¯x2 1 + 2¯x1 + 1 0 = −¯x1¯x2 − 2¯x2 ¯y = ¯x2 Gli stati e l’uscita di equilibrio sono: ¯x1 = −1, ¯x2 = 0, ¯y = 0 Domanda 1.2 Si determinino le matrici A, B, C, D che descrivono il sistema linearizzato intorno allo stato di equilibrio calcolato al punto precedente, e si valuti la stabilit` a dell’equilibrio. Le matrici A, B, C, D del sistema linearizzato sono A = 0 0 0 −1  , B = 1 1  , C =  0 1  ; D = 0. La matrice A del sistema linearizzato ha un autovalore nullo e uno a parte reale negativa. Pertanto, non ` e possibile trarre conclusioni sulla stabilit` a del punto di equilibrio. Domanda 1.3 Si valuti se il sistema linearizzato precedentemente calcolato ` e osservabile e si dia un’interpretazione al risultato trovato, alla luce delle equazioni che lo descrivono. La matrice di raggiungibilit` a ` e: KO =  CT AT CT  = 0 0 1 −1  La matrice KO ha rango 1, quindi il sistema non ` e completamente osservabile. L’analisi delle equazioni del sistema linearizzato, mostra come la prima variabile di stato δx1 non solo non compaia direttamente nella trasformazione d’uscita, ma come la sua evoluzione non vada in alcun modo ad influenzare la variabile δx2, che invece compare nella trasformazione d’uscita. Dunque, la prima variabile di stato non risulta osservabile. 3 Domanda 1.4 Si determini l’espressione della funzione di trasferimento per il sistema linearizzato…