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Probabilit` a e Statistica — 20.06.2024 Cognome Nome Matricola Domande corrette Punti Esercizio 1 Punti Esercizio 2 Punti Esercizio 3 La risposta a ciascuno dei 10 test ` e considerata valida se e soltanto se tutti i valori di verit` a relativi sono stati indicati correttamente. Studenti con DSA: solo prime 7 domande. Domanda 1. Siano A, B e C tre eventi tali che P(A) = 1/2, P(B) = 2 /3, P(A|B) = 1 /2, P(C) = 1 /9 e P(A ∪ B ∪ C) = 17 /18. Quali delle seguenti affermazioni sono necessariamente vere ? V Fz P(A ∩ B) = 0. V Fz P(Bc|A) = 1 3. V Fz P(A ∪ B ∪ C) = P(A ∪ B) + P(C). V Fz A e C sono indipendenti. Domanda 2. Sia X la variabile aleatoria che descrive la durata di una lampadina al neon; X ` e distribuita come una variabile esponenziale con media pari a 2. Si consideri una specchiera illuminata da 10 lampadine e si supponga che la durata di ogni lampadina sia indipendente da quella delle altre. V Fz Var(X) = 2. V Fz P(X > 4|X > 1) = e−1.5. V FzLa probabilit` a che esattamente met` a delle lampa- dine della specchiera si rompa prima della durata media di vita ` e uguale a e−5(1 − e−1)5. Domanda 3. Sia X una variabile aleatoria assoluta- mente continua con funzione di densit` af(x) = sin(2x) se 0 ≤ x ≤ a e f(x) = 0 altrimenti. V Fz a = π/2. V Fz La mediana di X ` e uguale aπ/4. Domanda 4. Siano X e Y due variabili aleatorie discrete con massa (o densit` a) congiunta: Y = 0 Y = 1 Y = 2 X = 1 1/12 1/12 1/3 X = 2 1/3 ? 1/6 V Fz La probabilit` a mancante nella tabella ` e uguale a 0. V Fz X ` e una variabile di Bernoulli di parametro 1/2. V Fz X e Y sono positivamente correlate, ovvero Cov(X, Y ) ≥ 0. V Fz P(X = 1|Y > 0) = 1 5. Domanda 5. Si considerino due variabili indipenden- ti X ∼ N (1, 4) e Y ∼ N (3, 1) e sia Φ la funzione di ripartizione cumulativa di una normale…