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Politecnico di Milano Analisi Matematica I e Geometria – 21 gennaio 2020 Ing. Gestionale Prova in itinere c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. PRIMA PAR TE 1. [punti 2,5] a) Enunciare e dimostrare un teorema che esprima una condizione sufficiente alla convergenza di una serie, che sia applicabile anche nel caso di serie a termini di segno variabile. b) Sia {cn}n≥n0 una successione di cui non è noto il segno, però tale che | cn| = 1 . E’ possibile dedurne il carattere di +∞∑ n=n0 cn n ? (Giustificare la risposta.) a) Si tratta del criterio di convergenza assoluta (vedere testi). b) La risposta è negativa. Se si considera la serie dei moduli, si nota che essa risulta +∞∑ n=n0 cn n = +∞∑ n=n0 1 n , cioé la serie armonica, divergente; il criterio di convergenza assoluta è quindi inapplicabile. Inoltre, mentre considerando cn = 1 si ottiene una serie divergente 1, prendendo cn = (−1)n si ha una serie convergente 2. Perciò l’informazione fornita su cn non determina il carattere della serie indicata. 2. [punti 1] Definire il concetto generale di distanza fra sottinsiemi di R3. 3. [punti 2,5] Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. 1 +∞∑ n=n0 cn n = +∞∑ n=n0 1 n , serie armonica. 2 +∞∑ n=n0 cn n = +∞∑ n=n0 ( 1)n n , convergente per Leibnitz. SECONDA PAR TE 1) [punti 6] Stabilire il carattere delle seguenti serie: a) +∞∑ n=1 (−1)n log n n ; b ) +∞∑ n=1 ( (−1)n log n n + Ch (1=n) n ) : a) La serie è tipo +∞∑ n=1 (−1)nbn , con bn = log n n , che soddisfa bn > 0 ∀ n > 1 e bn → 0 (limite notevole). Per stabilire se bn è monotona, consideriamo h(x) = log x x , che…