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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 21-2-2019 Esercizio 1. a. Sia data la funzione f (x) = 3 √ x3 + 2x 3 √ x3 + x 1 x ; x ̸= 0: Calcolare > 0 e c ̸= 0 tali che valga la relazione f (x) = cx + o(x ) per x ! +1. b. Studiare la convergenza dell'integrale improprio ∫ +1 1 f (x)dx: Soluzioni a. Ricordiamo che, per t ! 0 e per ogni 2 R, vale lo sviluppo (1 + t) = 1 + t + o(t): Utilizzando tale sviluppo e ponendo = 1=3 e t = 2x 2 deduciamo la relazione asintotica 3 √ x3 + 2x = x ( 1 + 2 x2 ) 1=3 = x [ 1 + 2 3x2 + o ( 1 x2 )] = x + 2 3x + o ( 1 x ) e analogamente, ponendo t = x 2 3 √ x3 x = x ( 1 1 x2 ) 1=3 = x [ 1 1 3x2 + o ( 1 x2 )] = x 1 3x + o ( 1 x ) Di conseguenza f (x) = x + 2 3x ( x 1 3x ) 1 x + o ( 1 x ) = 2 3x + o ( 1 x ) : Si ha quindi = 1 ( ordine di in nitesimo ) e c = 2 3 (parte principale): b. Notiamo subito che f non presenta singolarit a sull'intervallo di integrazione [1; +1). Inoltre, utilizzando la relazione asintotica stabilita al ponto precedente, deduciamo che f  e non positiva per x abbastanza grande e vale la relazione di asintotici a f (x)  2 3 x 1 per x ! +1: Poich e la funzione 2 3 x 1 non  e integrabile a +1, ai sensi del criterio di asintoticit a l'integrale ∫ +1 1 f (x)dx risulta non convergente. Esercizio 2. Si consideri la matrice quadrata 3  3: A = 2 4 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 5 : a. Determinare autovalori e autovettori di A e discuterne la diagonalizzabilit a; b. si esibiscano una matrice diagonale  ed una matrice ortogonale N tali che N T AN = ; c. riferendosi alla matrice N esibita al punto precedente, calcolarne la matrice inversa N 1. Soluzioni a. Notiamo subito che A  e simmetrica, e pertanto come conseguenza del teorema spettrale essa  e diagona- lizzabile e tutti i suoi autovalori sono…