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AG2 A.A. 2020-21 Prima Prova in Itinere 21 Aprile 2021 Parti B e C B1 Sia f : R4→ R3 l’applicazione lineare rappresentata, rispetto alle basi standard, dalla matrice A =   1 0 1 0 1 −1 1 2 1 1 1 −2   . i) Determinare le dimensioni di Ker(f) e di Im(f). ii) Determinare una base di Ker(f). iii) Posto B =A·AT, osservare che B ` e diagonalizzabile e determinare poi una matriceP tale cheP−1BP ` e diagonale. iv) Determinare una matrice ortogonaleR tale che R−1BR ` e diagonale. Soluzione i) La dimensione di Im(f) coincide con il rangor della matriceA, mentre la dimensione di Ker(f) ` e uguale a 4−r, per il teorema di mullit` a+rango. Si vede subito che c’` e una sottomatrice quadrata di A di ordine 2 con determinante diverso da zero, ad esempio la sottomatrice ( 1 0 1 −1 ) , per cui r≥ 2. Poich´ e, come si calcola facilmente, risulta ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ 1 0 0 1 −1 2 1 1 −2 ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ = ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ 1 0 1 1 −1 1 1 1 1 ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ = 0, dal teorema di Kronecker segue r = 2. Di conseguenza, risuta dim(Ker( f)) = dim(Im(f)) = 2. ii) Posto x =   x1 x2 x3 x4  , per definizione x∈ Ker(f) se e solo se Ax = 0, cio` e se e solo se {x1 +x3 = 0 x1−x2 +x3 + 2x4 = 0 x1 +x2 +x3− 2x4 = 0 . Per quanto visto prima, calcolando il rango di A, il precedente sistema lineare omogeneo ` e equivelente al sistema {x1 =−x3 x1−x2 =−x3− 2x4 . Ponendox3 =h, x4 =k e risolvendo rispetto a x1 e x2, si ottiene    x1 =−h x2 = 2k x3 =h x4 =k , cio` e x =h   −1 0 1 0   +k   0 2 0 1   . Una base di Ker(f) ` e quindi      −1 0 1 0  ,   0 2 0 1      . iii) Risulta B =   2 2 2 2 7 −3 2 −3 7   . Poich´ eB ` e simmetrica,(1) ` e sicuramente diagonalizzabile. Una matrice P tale che P−1AP ` e diagonale ha sulle colonne tre autovettori indipendenti di B. Il polinomio caratteristico di B ` e −λ3 +…