21 07 17 1

Page 1

F ondamenti di statistica e segnali biomedici [1] (allievi Bio) Proff. Epifani, Guglielmi, Verri Prova scritta del 21/07/2017 Cognome e Nome Matr. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegner` a, lo studente indichi il proprio cognome, nome e n ◦ di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati finali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligrafia leggibile: nella valutazione complessiva dell’elaborato si terr` a conto anche dell’ordine. T empo: 1h 45min Esercizio 1 Nella citt` a di Seattle la probabilit` a che un giorno qualsiasi estivo sia piovoso ` e 3/7. Per andare ogni giorno da casa al lavoro un lavoratore prende l’autobus, che arriva in ritardo con probabilit` a 1/3 se il giorno ` e piovoso e con probabilit` a 1/9 se il giorno non ` e piovoso. 1. Calcolare la probabilit` a che l’autobus sia in ritardo in un giorno estivo qualsiasi. 2. Sapendo che l’autobus ` e arrivato in ritardo, qual ` e la probabilit` a che quel giorno piovesse? 3. Se i ritardi giornalieri dell’autobus sono indipendenti, quanto vale approssimativamente la probabilit` a che l’autobus sia in ritardo per meno di 30 giorni su 100 estivi? Soluzione Si indichi conE l’evento “un giorno estivo ` e piovoso” e conR l’evento “l’autobus ` e in ritardo”. Sappiamo che P (E) = 3 7, P (R|E) = 1 3, P (R|Ec) = 1 9 1. Si tratta di calcolare P (R) e possiamo applicare la formula delle probabilit` a totali: P (R) =P (R|E)P (E) +P (R|Ec)P (Ec) = 1 3× 3 7 + 1 9× 4 7 = 13 63≃ 0.2063 2. Applichiamo il teorema di Bayes: P (E|R) = P (R|E)P (E) P (R) = 1 3× 3 7 13 63 = 9 13≃ 0.6923 3. Se assumiamo che Xi sia una v.a. pari ad 1 se l’ i-esimo giorno l’autobus ` e in ritardo e 0 altrimenti,…