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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Metodi Analitici e Numerici per l’Ingegneria Prima prova parziale 21 Novembre 2012 Cognome: Nome: Matricola: • Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. RIPORTARE TUTTI I COMANDI MATLAB UTILIZZATI. DOMANDA 1 Si considerino N + 1 punti del piano{(xi, yi)}, i = 0, . . . , N, con xi̸= xj se i̸= j. 1. Si enunci un risultato sull’esistenza e unicit` a del polinomio interpolatore di Lagrange. 2. Sia M < N . Si definisca il miglior polinomio interpolante di grado M nel senso dei minimi quadrati. 1 DOMANDA 2 Si consideri la funzione f : [0, 2]→ R definita da f(x) = e3x e l’integrale ∫ 2 0 f(x) dx . (1) 1. Si ricavi la formula di quadratura del trapezio composita per il calcolo dell’integrale (1), con nodi equispaziati. 2. Si programmi in Matlab l’algoritmo del trapezio suddividendo l’intervallo inN parti uguali. 3. Si calcoli analiticamente (1). 4. Si calcoli numericamente (1) per N = 4 , 8, 16, 32 e si riportino gli errori nella tabella seguente: N = 4 N = 8 N = 16 N = 32 eN 5. Si deduca l’ordine di convergenza del metodo, e lo si confronti con il risultato teorico. 2 DOMANDA 3 Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari Ax = b con A =   7 −1 0 0 0 −1 7 −1 0 0 0 −1 7 −1 0 0 0 −1 7 −1 0 0 0 −1 7   e b = [5, 10, 18, 2, 13]T . 1. Si descriva il metodo del gradiente, mostrando come si ricava e precisando le ipotesi per l’applicabilit` a. 2. Si verifichi con l’aiuto di Matlab che A soddisfa le ipotesi per l’applicabilit` a del metodo del gradiente. 3. Si programmi in Matlab l’algoritmo del gradiente, ricavato al punto 1, creando una function x=gradiente(A,b,x0,N) che restituisce il…