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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 21 Gennaio 2019 c I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Si consideri un campione casualeX1,. . . ,Xnestratto da una legge con la seguente densit` a di probabilit` a: f(x;✓)= ✓x 2e ✓ x1(0,1)(x), con parametro reale✓>0 incognito. (a) Determinareb✓ML E, simatore di massima verosimiglianza per✓. (b) Determinared⌧(✓)ML E, stimatore di massima verosimiglianza per⌧(✓)=✓ 1. (c) Determinare la legge di d⌧(✓)ML E. (d) Dimostrare ched⌧(✓)ML E` e asintoticamente e ciente e consistente per⌧(✓). (e) Costruire un intervallo di confidenza asintotico di livello 1 ↵per⌧(✓). 1 Principio di invarianza asintoticamente efficiente consistente Esercizio 2 SiaX1,...,Xnun campione casuale da una distribuzione con la seguente densit` a di probabilit` a: f(x|✓)=2✓2 x31(✓,1)(x),✓ > 0. (a) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza b✓per✓; (b) Si calcoli la densit` a di probabilit` a dib✓; (c) Si trovi la regione critica di livello ↵2(0,1) basata sul rapporto di versimiglianza per il test d’ipotesi: H0:✓=✓0vsH1:✓6=✓0,✓0>0; (d) Utilizzando la regione critica costruita al punto (c), trovare un intervallo di confidenza per ✓di livello (1 ↵); (e) Utilizzando la quantit` a pivotaleQ=b✓/✓, trovare la costantec>0 a nch´ e l’intervallo di confidenza (0,b✓c)p e r✓sia di livello (1 ↵). 2
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