21012019 MMIS

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 21 Gennaio 2019 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Si consideri un campione casuale X1,...,X n estratto da una legge con la seguente densit` a di probabilit` a: f(x;θ) = θx−2e−θ x 1(0,∞)(x), con parametro reale θ> 0 incognito. (a) Determinare ˆθMLE , simatore di massima verosimiglianza per θ. (b) Determinare ˆτ(θ)MLE , stimatore di massima verosimiglianza per τ(θ) =θ−1. (c) Determinare la legge di ˆτ(θ)MLE . (d) Dimostrare che ˆτ(θ)MLE ` e asintoticamente efficiente e consistente perτ(θ). (e) Costruire un intervallo di confidenza asintotico di livello 1 −α per τ(θ). 1 Esercizio 2 Sia X1,...,X n un campione casuale da una distribuzione con la seguente densit` a di probabilit` a: f(x|θ) = 2θ2 x3 1(θ,∞)(x), θ> 0. (a) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza ˆθ per θ; (b) Si calcoli la densit` a di probabilit` a diˆθ; (c) Si trovi la regione critica di livello α∈ (0, 1) basata sul rapporto di versimiglianza per il test d’ipotesi: H0 :θ =θ0 vs H1 :θ̸=θ0, θ0 > 0; (d) Utilizzando la regione critica costruita al punto (c), trovare un intervallo di confidenza per θ di livello (1−α); (e) Utilizzando la quantit` a pivotaleQ = ˆθ/θ, trovare la costante c >0 affinch´ e l’intervallo di confidenza (0, ˆθc) per θ sia di livello (1−α). 2 Esercizio 3 Un gruppo di ingegneri ambientali ` e interessato a valutare i fattori che possono determinare l’inquinamento dell’aria. Per raggiungere questo obiettivo gli ingegneri raccolgono i dati delle centraline ecologiche collocate ai lati della strada. In…