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Meccanica Aerospaziale Prova scritta del 22 Gennaio 2018 Esercizio 1 In un piano verticale, un disco omogeneo di massa M e raggio R rotola senza strisciare lungo una guida orizzontale. Una cerniera posta nel centro del disco C vincola il disco ad un’asta omogenea di massa m e lunghezza 4R. L’asta ` e vincolata superiormente ad una parete, posta a distanza 4R dalla guida, mediante una cerniera forata. Il centro del disco ` e collegato al suolo mediante una molla di costante elastica k. Utilizzando l’angolo di inclinazione dell’asta rispetto alla verticale θ come coordinata libera, 1. Verificare che il sistema ` e in equilibrio nella configurazione θ = 0. 2. Determinare i valori di k per cui la configurazione θ = 0 ` e stabile. 3. Determinarne il periodo delle piccole oscillazioni del sistema attorno alla configurazione θ = 0 quando questa ` e stabile. 1 Esercizio 2 Nel sistema schematizzato nella Figura 2, una piattaforma circolare di raggio 2R e massa m ha il proprio centro O fissato a terra mediante un perno che la mantiene orizzontale durante il moto. Una intelaiatura rettangolare ABCD, di massa trascurabile, ` e saldata alla piattaforma in modo che il suo latoAB coincida con un diametro della piattaforma e ed i lati AD e BC siano ortogonali ad essa. Un disco di raggio R e massa m ` e collegato al lato CD dell’intelaiatura tramite un foro passante lungo un diametro che ne permette la rotazione attorno all’asse CD, mentre il suo centro M si trova nel punto medio del segmento CD. Infine, un punto P di massa m ` e saldato all’estremit` a del diametro del disco ortogonale a CD. Utilizzando gli angoli di rotazione θ e φ indicati in figura: 1. Scrivere l’espressione della funzione di Lagrange del sistema 2. Scrivere le equazioni di Lagrange sistema. 3. Mostrare che le equazioni…