22 01 2024 E T

Page 1

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Quarto appello Docente: 22 gennaio 2024 Cognome: Nome: Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1. Si considerino: lo spazio vettoriale V dei polinomi reali P (x) = a+bx+cx2+dx3 e la funzione L : V → V definita da L a + bx + cx2 + dx3
= 3a + b − 2d + (a + 4b + c − 8d)x + (6a − 2b + 3c + 4d)x2 + (2a − 7b + 2c + 14d)x3 1. Si spieghi in una riga perch´ eL ` e lineare e si scriva la matriceA che rappresenta L rispetto alla base  1, x, x2, x3 di V. 2. Si determinino il rango di L e una base del nucleo di L. 3. Si determinino i valori del parametro reale k per cui l’equazione L(P (x)) = 6 + 5x + k x2 + 10x3 ha almeno una soluzione P (x) in V. Per tali valori di k la soluzione ` e unica? ♡ 1 di 3 ♡ Esercizio 2. Considera la matrice A =   0 1 2 −2 −3 2 −1 1 3   ∈ MR(3, 3) e l’applicazione lineare LA : R3 → R3 definita da LA(x) = Ax. (i) Verifica che i vettori v1 = 5e1 − e2 + 3e3, v2 = e1 + e2 + e3, v3 = e2 formano una base B di R3 (qui E = {e1, e2, e3} denota la base canonica di R3). (ii) Determina la matrice rappresentativa di LA rispetto alla base B = {v1, v2, v3} per il dominio e alla base canonica E = {e1, e2, e3} per il codominio. (iii) Determina la matrice rappresentativa di LA rispetto alla base B = {v1, v2, v3} sia per il dominio che per il codominio. (iv) Verifica che λ = 2 ` e un autovalore diA. (v) Stabilisci se la matrice A ` e diagonalizzabile su R. In caso…