22 07 2015

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Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano – Ingegneria informatica – Appello 22 Luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola: T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vann o svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non d evono essere consegnati. 1. Sia T : R3[x] → R3[x] la funzione tale che T (1) = 1 + x, T (1 + x) = x + x2, T (1 + x + x2) = 1 + 2 x + x2, T (1 + x + x2 + x3) = 1 − x2. 1. Dimostrare che esiste un’unica applicazione lineare T ∈ EndR(R3[x]) che soddisfa le con- dizioni precedenti e calcolare la matrice A che rappresenta T rispetto alla base canonica S = {1, x, x2, x3}. 2. Calcolare una base di ker( T ) e Im( T ). 3. Calcolare una base di ker( T ) + Im(T ) e ker( T ) ∩ Im(T ). 2. Siano date le matrici dipendenti dal parametro reale k: Ak =   k + 1 0 0 0 k − 1 − k + 1 0 2 − 2   , B k =   0 0 0 0 k + 1 1 0 0 k − 3   . 1. Calcolare autovalori e autospazi di Ak per ogni k ∈ R. 2. Per quali k le matrici Ak e Bk sono simili? 3. Fissato un sistema di riferimento ortonormale BO nello spazio, consideriamo il fascio di quadriche Qh definite dalle seguenti matrici dipendenti dal parametro h ∈ R : Bh =     1 + h 0 1 − h 0 0 5 0 h 1 − h 0 1 + h 0 0 h 0 1     . 1. Classificare Qh al variare di h. 2. Scrivere una forma canonica di Qh per ogni h. 3. Trovare i valori di h per i quali Qh ` e di una superficie di rotazione reale. In tali casi trovare l’asse di rotazione di Qh. Soluzioni 1. (a) L’insieme {1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3} ` e una base di R3[x]. Essendo pertanto definita l’azione di T su una base, esiste un’unica applicazione lineare T che soddisfa le condizioni date. Per ottenere la matrice che rappresenta T rispetto ad S dobbiamo conoscere l’azione di T su S : T (1) = 1 + x, T…