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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T eoria: T otale Numero di iscrizione alla prova scritta: Docente: Analisi e Geometria 1 Prima Prova 22 Novembre 2016 Compito F Cognome: Nome: Matricola: Punteggi: Es.1: 7; Es.2: 7; Es.3: 10 Teoria: 8, Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli: nello spazio sotto il testo e sul retro del foglio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Esercizio 1. a) Si consideri la seguente equazione nella variabile complessa z: (∗) z2 = 2z. Scrivere le soluzioni di (∗) in forma algebrica e rappresentarle sul piano complesso. Soluzioni in forma algebrica: Rappresentazione sul piano: b) Poniamo S = { w∈ C| w2 =−1 +i √ 3 } Trovare i numeri complessi che appartengono all’insieme S, scrivendoli sia in forma algebrica, sia in forma esponenziale. Forma algebrica: Forma esponenziale: Calcoli e motivazioni delle risposte (Si pu` o scrivere anche sul retro di questo foglio): Soluzioni a. Notiamo subito che z = 0 soluzione di ( ∗). Cerchiamo quindi soluzioni non nulle nella forma polare z =ρ (cosϑ +i sinϑ) ove ρ∈ (0, +∞) e ϑ∈ [0, 2π) sono incogniti. Utilizzando la formula di de Moivre, abbiamo z2 =ρ2 [cos(−2ϑ) +i sin(−2ϑ)], da cui, tornando all’equazione (∗) ρ2 [cos(−2ϑ) +i sin(−2ϑ)] = 2ρ [cos(ϑ) +i sin(ϑ)]. Possiamo quindi scorporare tale equazione in una equazione per i moduli ed una per gli argomenti    ρ2 = 2ρ, −2ϑ =ϑ + 2kπ, k ∈ Z, ⇐⇒    ρ = 2, ϑk = 2kπ 3 , k = 0, 1, 2. Pertanto, le soluzioni non nulle dell’equazione (∗) sono z0 = 2 [cos 0 +i sin 0] = 2, z1 = 2 [ cos (2π 3 ) +i sin (2π 3 )] =−1 +i √ 3, z2 = 2 [ cos (4π 3 ) +i sin (4π 3 )] =−1−i √ 3. b. Gli elementi dell’insieme S sono le due radici s1, s2 di−1 +i √ 3: s1 = √ 2 [ cos (π 3 ) +i sin (π 3 )] = √ 2 2 +i √ 6 2 = √ 2eiπ 3 s2 = √ 2 [ cos (4π 3…