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Test – 50pt – 1h – CN AER 23/06/20 1 — 2 pt Si determini la distanza assoluta minima tra un numero positivo x∈ F(2, 4,−3, 4) e quello immediatamente successivo. 2−7 = 0.0078125 2 — 3 pt Sia dato un sistema lineare A x = b, dove A =   4 2 −8 2 1 8 2 0 1   e b = (1 2 8) T . Si risolva il sistema tramite il metodo della fattorizzazione LU con pivoting per righe. Si riportino gli elementi l21 = (L)21 e u33 = (U)33 dei fattori L ed U della matrice permutata e la seconda componente y2 del vettore ausiliario y associato alla soluzione del sistema triangolare inferiore che compare durante l’applicazione del metodo. l21 = 1 2 u33 = 12 y2 = 15 2 3 — 3 pt Si consideri il metodo di Richardson stazionario precondizionato per risolvere il sistema lineare Ax = b, dove A =   8 −1 0 −1 5 −1 0 −1 2   e b = (1 1 1) T . Posto il precondizionatore P =   6 0 0 0 5 0 0 0 4  , si calcoli il valore ottimale del parametro αopt∈ R e lo si utilizzi per determinare l’iterata x(4)∈ R3 del metodo usando opportunamente la funzione Matlab ® richardson.m e avendo scelto x(0) = 0. Si riporti x(4). (0.161628 0 .349156 0 .615368)T 1 4 — 3 pt Sia data una matrice A =   8 −5 γ −5 12 3 γ 3 8   dipendente da un parametro γ∈ R. Si determinino i valori di tale parametro γ∈ R tali per cui la matrice A ammette un’unica fattorizzazione di Cholesky. −7.7995<γ < 5.2995 5 — 2 pt Data la matrice A = [ 10 −2 −2 8 ] , sia x = (−1 1) T un’approssimazione di uno dei suoi autovettori. Si riporti l’approssimazione dell’autovalore corrispondente λ. 11 6 — 2 pt Data la matrice A =   2.05 1 −1.05 1 2 −1 −1.05 −1 2 .05   si consideri il metodo delle it- erazioni QR per l’approssimazione dei suoi autovalori. Si utilizzi la funzione Matlab® qrbasic.m con tol= 10−2 e nmax= 100 e si riporti l’approssimazione…