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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 23-11-2016 Esercizio 1. Si consideri la seguente equazione nella variabile complessa z: (∗) z2 =−4z. a. Determinare le soluzioni di (∗) e rappresentarle sul piano complesso. b. Descrivere l’insieme S = { w∈ C :w2 =z ovez ` e soluzione di (∗) con Rez >0 } e rappresentarlo sul piano complesso. Soluzioni a. Notiamo subito che z = 0 ` e soluzione di (∗). Cerchiamo quindi soluzioni non nulle nella forma polare z =ρ (cosϑ +i sinϑ) ove ρ∈ (0, +∞) e ϑ∈ [0, 2π) sono incogniti. Utilizzando la formula di de Moivre, abbiamo z2 =ρ2 [cos(2ϑ) +i sin(2ϑ)], z =ρ [cos(−ϑ) +i sin(−ϑ)] e − 4 = 4 (cosπ +i sinπ) da cui, tornando all’equazione (∗) ρ2 [cos(2ϑ) +i sin(2ϑ)] = 2ρ [cos(π−ϑ) +i sin(π−ϑ)]. Possiamo quindi scorporare tale equazione in una equazione per i moduli ed una per gli argomenti    ρ2 = 4ρ, 2ϑ =π−ϑ + 2kπ, k ∈ Z, ⇐⇒    ρ = 4, ϑk = π 3 + 2kπ 3 , k = 0, 1, 2. Pertanto, le soluzioni non nulle dell’equazione (∗) sono z0 = 4 [ cos (π 3 ) +i sin (π 3 )] = 2 +i2 √ 3, z1 = 4 (cosπ +i sinπ) =−4, z2 = 4 [ cos (5π 3 ) +i sin (5π 3 )] = 2−i2 √ 3. b. Notiamo che gli elementi dell’insieme S ={s1,s 2,s 3,s 4} sono le radici quadrate delle soluzioni calcolate al punto a. con parte reale positiva. Tali soluzioni sono 2 + i2 √ 3, che ammette le radici s1 = 2 [ cos (π 6 ) +i sin (π 6 )] = √ 3 +i e s2 = 2 [ cos (7π 6 ) +i sin (7π 6 )] =− √ 3−i e 2−i2 √ 3, le cui radici sono s3 = 2 [ cos ( −π 6 ) +i sin ( −π 6 )] = √ 3−i e s4 = √ 2 [ cos (5π 6 ) +i sin (5π 6 )] =− √ 3 +i. Esercizio 2. Dominio di f: D(f) = (−∞,− ln 2)∪ (ln 2, +∞). Infatti e2x−5 2ex+1 = ( ex− 1 2 ) (ex−2)> 0 ⇐⇒ ex< 1 2 e ex> 2 ⇐⇒ x< ln (1 2 ) =− ln 2 ex> ln 2. Studio del segno di f: f(x)    > 0 ⇐⇒ e2x− 5 2ex + 1> 1 ⇐⇒ ex< 5 2 ⇐⇒ x> ln (5 2…