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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Quarto appello Docente: 24 gennaio 2025 Cognome: Nome: Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1. Sia k un parametro reale. Dati nello spazio euclideo E3 i piani di equazione rispettivamente 4x+y−z = 13, 2x + y = 9 e kx + 2y + z = 14, 1. si determini il valore di k per cui l’intersezione dei 3 piani ` e una retta, e si determinino delle equazioni parametriche di tale retta; 2. si calcoli la distanza tra la retta del punto precedente, e la retta per l’origine con vettore direzione w = [2, 1, 0]T . Le due rette in questione sono parallele, incidenti o sghembe? Giustificare la risposta. 1 Esercizio 2. Nello spazio vettoriale R3 dotato della base canonica B = {e1, e2, e3}, considera l’applicazione lineare L : R3 → R3 definita dalle seguenti condizioni: • L(e1) = e1 + e2 − a e3, a ∈ R; • L(e2) = 3e2 − e3; • e2 − e3 ` e un autovettore diL con autovalore λ = 1. 1. Determina la matrice rappresentativa A di L rispetto alla base canonica B. 2. Calcola gli autovalori di A e determina una base per ogni autospazio. 3. Stabilisci per quali valori di a ∈ R, la matrice A ` e diagonalizzabile suR. Per i valori trovati, esibisci una base di R3 formata da autovettori di A e calcola An per ogni n ∈ N. 2 Esercizio 3. Si consideri la forma quadratica: q(x, y, z) = 2x2 − 2y2 + 2z2 + 2xy + 6xz − 2yz 1. Si scriva la matrice simmetrica A associata alla forma quadratica q. 2. Si determini la…