25 09 2014

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Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano – Ingegneria informatica – Appello 25 Settembre 2014 Cognome: Nome: Matricola: T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vann o svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non d evono essere consegnati. 1. Fissato un sistema di riferimento ortonormale BO nello spazio, consideriamo la retta r|BO : { 2x − y + z = 1 x + y − z = 2 . 1. Verificare che r e l’asse y sono sghembi. 2. Trovare l’equazione della quadrica Q ottenuta dalla rotazione di r attorno all’asse y. 3. Scrivere un’equazione canonica di Q e riconoscerla. Determinare eventuali centro e assi di simmetria di Q. Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano – Ingegneria informatica – Appello 25 Settembre 2014 Cognome: Nome: Matricola: 2. Sia S = {e1, e2, e3} la base canonica di R3 e T : R3 → R4 una applicazione lineare tale che T (e1) = (1 , 1, 0, 0), T (e2) = (0 , 1, 1, − 1), T (e3) = (1 , 0, − 1, 1). 1. Dire se T esiste e se ` e unica. 2. Calcolare T ((a, b, c)). 3. Trovare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine di T . Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano – Ingegneria informatica – Appello 25 Settembre 2014 Cognome: Nome: Matricola: 3. Dato k ∈ R, sia Ak =   − 2 1 0 k − 2 0 0 0 2   . 1. Trovare i valori di k per i quali Ak ` e diagonalizzabile su R. 2. Trovare i valori di k per i quali Ak ` e ortogonalmente diagonalizzabile. 3. Per i valori di k di cui al punto precedente individuare una matrice ortogonale Q che diago- nalizza Ak. Soluzioni 1. 1. L’asse y ` e la retta di equazioni { x = 0 z = 0 . L’asse y e la retta r non si intersecano, in quanto il sistema        2x − y + z = 1 x + y − z = 2 x = 0 z = 0 . non ha soluzione. Per ottenere una…