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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T. T otale Analisi e Geometria 1 Docente: Gianluca Mola 27/1/2009 Ing. Industriale Cognome: Nome: Matr. Nello spazio sottostante gli esercizi devono essere riportati sia i risultati che i calcoli . Punteggi: Es.1=6 punti, Es.2=8 punti, Es.3=8 punti, Es.4=8 punti. Punteggio minimo per superare la prova=18 punti. 1. Dire per quali valori del parametro reale a l’integrale I = ∫ 1 0 (ex − 1 − x)(1 − x)2/3 √x (sin x)a dx ` e convergente. Soluzione. La funzione f (x) che compare sotto il segno di integrale non ` e definita solo in x = 0 . In un intorno destro di questo punto si ha f (x) ∼ 1 2 1 xa−3/2 . Pertanto, l’integrale I ` e convergente per a − 3/2 < 1 , ossia a < 5/2 . 2. Dato il problema di Cauchy    x √ 1 + y2 + yy′√ 1 + x2 = 0 y( √ 3) = √ 8, (a) mostrare che esso ammette esattamente una soluzione; (b) determinare tale soluzione. Soluzione. (a) L’equazione differenziale data ` e del primo ordine a variabili separabili e in forma normale diventa y′ = a(x)b(y) = − x√ 1 + x2 √ 1 + y2 y . Poich´ e la funzione a(x) ` e continua su tutto R e la funzione b(y) ` e di classe C′ su tutto R \ 0 , il problema di Cauchy dato ammette esattamente una soluzione in un introno delle condizioni iniziali date. (b) Separando le variabili si ha y√ 1 + y2 dy = − x√ 1 + x2 dx . Quindi, integrando, si ottiene √ 1 + y2 = − √ 1 + x2 + c , dove c ` e una costante reale arbitraria. Imponendo la condizione iniziale y( √ 3) = √ 8 , si ottiene c = 5 e quindi y = ± √ (5 − √ 1 + x2)2 − 1 = ± √ 25 + x2 − 10 √ 1 + x2 . Infine, poich` ey( √ 3) > 0 , la soluzione cercata ` e y = √ 25 + x2 − 10 √ 1 + x2 . 3. Nello spazio euclideo tridimensionale R3, si considerino il punto P = (1 , 0, 2), e il piano Π α di equazione x − αy + z + 2 = 0 , al variare di α ∈R. (a) Scrivere l’equazione…