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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 27 aprile 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale y′′(x) − 4y(x) = e2x. 2. In R3 , fissata la base canonica e1 , e2 , e3 , consideriamo l’applicazione lineare f definita da f (e1) = e1 + e3, f (e2) = 2 e1 + 4e2 + 6e3, f (e3) = e1 + e2 + 2e3. (a) Dare la definizione di applicazione lineare. (b) Determinare la dimensione e una base per l’immagine Im( f ) . (c) Determinare la dimensione e una base per il nucleo Ker( f ) . (d) Stabilire se f ` e biiettiva (cio` e iniettiva e suriettiva). 3. (a) Enunciare il teorema sulla diagonalizzazione delle matrici simmetriche (teorema spettrale). (b) Stabilire se la matrice A = [ −2 √ 2√ 2 −1 ] ` e diagonalizzabile. In caso affermativo determinare una base di R2 formata da autovettori di A di modulo ( = lunghezza = norma) uno. Si tratta di una base ortonormale? Giustificare la risposta. 4. Determinare il carattere della seguente serie numerica +∞∑ n=1 n + 2n (n + 2)! . Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 27 aprile 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale y′′(x) −…
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