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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi Matematica B e Calcolo Numerico. Seconda prova in itinere Docenti: Boella, Cerutti, Schlesinger, Sianesi Parte di Analisi, 27/06/2005 Cognome: Nome: Matricola: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. • Le risposte alle domande devono essere scritte su questi fogli nello spazio sotto il testo oppure, in caso di necessit` a, sul retro del foglio. • Ogni risposta deve essere giustificata. 1. Sia data la funzione f (t), 2 π-periodica, dispari, tale che f (t) = − ln(1 + t) per 0 ≤ t ≤ π/2, f (t) = 0 per π/2 < t ≤ π. a) Tracciare il grafico di f (t) nell’intervallo [−4π, 4π], evidenziandone gli eventuali punti di discontinuit` a. b) Scrivere (senza calcolarli) l’espressione dei coefficienti della serie di Fourier associata a f . c) In quali punti dell’intervallo [0 , 2π] la serie di Fourier di f converge a f ? Soluzione b) Poich´ ef ` e dispari, si ha chean = 0 per ogni n ≥ 0 e bn = 2 π ∫ π 0 f (t) sin ntdt = 2 π ∫ π 2 0 − log(1 + t)dt. c) La serie converge ad f nei punti in cui f ` e continua, cio` e in [0, 2π] esclusi i punti t = π 2 e t = 3 2 π. 2. Calcolare ∫ ∫ T 2x cos(y) dx dy, dove T ` e la porzione del cerchio con centro nell’origine e raggio uno contenuta nel semipiano {(x, y)|x ≤ y − 1}. Soluzione ∫∫ T 2x cos(y) dx dy, = ∫ 1 0 ( ∫ y−1 − √ 1−y2 2x cos ydx)dy = ∫ 1 0 [(y − 1)2 − (1 − y2)] cos ydy = ∫ 1 0 (2y2 − 2y) cos ydy = 2[(y2 − y) sin y|1 0 − ∫ 1 0 (2y − 1) sin ydy] = 2((2y − 1) cos y|1 0 − ∫ 1 0 2 cos ydy = 2 cos 1 + 2 − 4 sin 1 3. Calcolare la massa del filo di equazione parametrica r(t) = 2 sin t i + 2 cos t j + 3t k, t…