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ANALISI 1 E GEOMETRIA - 27 GIUGNO 2013 DOCENTI: M.BOELLA, D.MONTICELLI, R.NOTARI, C.PERELLI CIPPO Parte A Esercizio 1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Unicit` a del Limite. Esercizio 2. Dare la definizione di funzione derivabile in un punto, ed enu nciare il Teo- rema sulla derivata della funzione inversa. Data poi la funzio ne f (x) = arctan ( 1 x ) , x ∈ (0, +∞), calcolare l’ equazione della retta tangente al grafico di f −1(x) nel suo punto x = π/4. Svolgimento. Per la definizione e l’ enunciato si consulti un libro di teoria. La retta tangente al grafico di f −1(x) in x = π/4 ha equazione y = f −1(π/4) + (f −1)′(π/4)(x − π/4). Se y0 = f −1(π/4) allora f (y0) = π/4, ossia arctan ( 1 y0 ) = π/4. L’ equazione ` e equivalente a 1 y0 = tan( π/4) = 1 e quindi y0 = 1 . Ricordando il Teorema sulla derivata della funzione inversa, possiamo scrivere ( f −1)′(π/4) = 1 /f ′(y0). Visto che f ′(x) = − 1 1+x2 , si ha f ′(1) = −1/2. Quindi, (f −1)′(π/4) = −2. La retta richiesta ha allora equazione y = 1 − 2(x − π/4). Esercizio 3. Definire il polinomio di Taylor di grado n di una funzione nel punto x = x0, e calcolare il polinomio di McLaurin di secondo grado per la fu nzione f (x) = ∫ x 0 ln(1 + t) dt, t ∈ ( −1 2, 1 2 ) . Usando tale polinomio, stabilire la natura del punto x = 0 per la funzione f (x). Svolgimento. Per il polinomio di Taylor e le sue propriet` a si consulti un libr o di teoria. Il polinomio richiesto ` e P2(x) = f (0) +f ′(0)x + f ′′(0) 2 x2. Data la funzione f (x), abbiamo che f ′(x) = ln(1 + x) e f ′′(x) = 1 1+x . Valutando le tre funzioni in x = 0 , abbiamo f (0) = 0 , f ′(0) = 0 , f ′′(0) = 1 . Il polinomio richiesto ` e allora P2(x) = 1 2x2. Visto che f ′(0) = 0 e f ′′(0) > 0, x = 0 ` e punto di minimo locale per f (x). Analisi 1 e Geometria - 27 Giugno 2013…
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