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Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Es.5 Esercizi D.1 D.2 Domande VOTO Analisi Matematica I e Geometria Quarto Appello Docenti: 27 agosto 2018 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. Esercizi Es.1. `E data la funzione f(x) =x arctanx . a) Determinarne il dominio e le eventuali simmetrie. Calcolare zeri e segno. Individuare eventuali asintoti. b) Studiare gli intervalli di monotonia di f e individuare eventuali punti estremanti. c) Studiare la convessit` a di f e individuare eventuali punti di flesso. d) Tracciare il grafico della funzione F (x) =x arctan|x|, evidenziando (sul disegno) eventuali asintoti, estremanti, flessi. Svolgimento. a) Il dominio di f ` eR . Si osserva che f ` e una funzione pari e continua su R Risulta f(x)≥ 0 per ogni x∈ R e f(x) = 0 solo per x = 0 ; dunque x0 = 0 ` e punto di minimo assoluto e f(x0) = 0 ` e il minimo assoluto della funzione. Agli estremi del dominio si trovano i valori dei limiti lim x→+∞ f(x) = +∞, e lim x→−∞ f(x) = +∞. La funzione non ammette asintoti orizzontali o verticali. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui per x→ +∞ : m = lim x→+∞ f(x) x = +π 2 q = lim x→+∞ [f(x)−mx] = lim x→+∞ [ x arctanx− π 2x ] = lim x→+∞ x [ arctanx− π 2 ] = lim x→+∞ x [ − arctan 1 x ] = lim x→+∞ x [ − 1 x ] =−1 Dunque y = +π 2x−1 ` e l’equazione dell’asintoto obliquo perx→ +∞ , mentre, per simmetria, y =−π 2x−1 ` e l’equazione dell’asintoto obliquo per x→−∞ . b) La funzione f ` e derivabile in tutto il suo dominio e risulta f′(x) = arctanx + x x2 + 1 . Si osserva che f′(x) = 0 per x = 0 , mentre f′(x) > 0 per x >0 e f′(x) < 0 per x <0 .…