Study material for Algebra Lineare e Geometria, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
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Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x +3 y −4z =4 2x +2 y −z =2 −x + y + bz =0 Si determinino i valori di b per cui il sistema non ammette soluzioni, e per tali valori si trovino le soluzioni ai minimi quadrati del sistema. ♥ 2d i4 ♥ Esercizio 2. Nello spazio vettoriale delle matrici MR(2, 2), si considerino gli spazi vettoriali V = Span ([ 1 −1 20 ] , [ 20 1 −3 ] , [ 0 −2 33 ]) , W = {[ ab cd ] ∈MR(2, 2) ⏐⏐ ⏐ ⏐ a +3 b−c−d =0 } . 1. Si determini una base e la dimensione di V . 2. Si determini una base dell’intersezione V ∩W . 3. Si completi la base dell’intersezione V ∩W ad una base di W . 4. Si calcolino tutte le coppie ( B, C) ∈V × W che soddisfano la relazione B + C = I (la matrice identit`a). ♥ 3d i4 ♥ Esercizio 3. Si consideri la matrice A = 1 2 ⎡ ⎢⎢⎣ 1 k −1 −1 111 1 −11 1 −1 −11 −11 ⎤ ⎥⎥⎦ 1. Per quale valore di k esiste una base ortonormale di R4, rispetto al prodotto scalare standard, formata da autovettori della matrice A? Per tale valore si verifichi che la matrice A `e ortogonale, e si determinino gli autovalori di A (non occorre calcolare il polinomio caratteristico). 2. Per il valore di k trovato al punto precedente, si determini una base ortonormale di R4 formata autovettori di A, e si calcoli An per ogni intero n (anche negativo. ♥ 4d i4 ♥
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