28 07 2014

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Esame di Geometria e Algebra Lineare Esame scritto: 28 Luglio 2014 – Esame orale: Cognome: Nome: Matricola: T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vann o svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non d evono essere consegnati. 1. Fissato un sistema di riferimento BO nello spazio, consideriamo i tre piani di equazioni:    x + ky + z − 1 = 0 x + y + kz = 0 2y + kz − k = 0 , k ∈ R. 1. Discutere e interpretare geometricamente il sistema di equazio ni al variare di k. 2. Risolvere il sistema per k = 0. 3. Dire per quali valori di k esiste almeno una retta parallela a tutti e tre i piani. 2. Siano V = {x = ( x y z w )T |y − z + w = 0 , y − w = 0 } e W = L((1 0 1 − 1)T , (0 1 2 0) T ) sottospazi di R4. 1. Trovare dimensioni e basi di V e W . 2. Provare che R4 ` e somma diretta di V e W . 3. Trovare una base ortonormale di V ⊥ rispetto al prodotto scalare canonico. 4. Provare che W e V ⊥ sono spazi isomorfi. 3. Sia A =   k 0 0 0 1 1 0 1 1   , dove il parametro k ∈ R ` e diverso da zero. 1. Per ogni k ̸= 0, calcolare una base ortonormale costituita da autovettori di A. 2. Dato un riferimento ortonormale BO, per ogni k ̸= 0 riconoscere la quadrica di equazione Q|BO : kx2 + y2 + z2 + 2yz + 2y = 0. 3. Stabilire per quali k la quadrica Q ` e di rotazione. Soluzioni 1. 1. Attraverso il metodo di eliminazione di Gauss possiamo ridurre a scala la matrice orlata (A|b) associata al sistema lineare: (A|b) =   1 k 1 1 1 1 k 0 0 2 k k   →   1 1 k 0 0 k − 1 1 − k 1 0 2 k k   → →   1 1 k 0 0 2 k k 0 0 (1 − k)(2 + k) − k2 + k + 2   . Se k = − 2, 1 vale r(A|b) = 3 , r (A) = 2 , mentre negli altri casi il rango di A ` e massimo. Pertanto, per il teorema di Rouch` e-Capelli il sistema ha soluzione se, e soltanto se, k ̸=…