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ANALISI MATEMATICA 1 Area dell’Ingegneria dell’Informazione Appello del 29.01.2018 NOTA: lo svolgimento del Tema 1 contiene alcuni commenti di carattere generale. TEMA 1 Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x) := log|x2− 5| x + 1 . i) Determinare il dominio D dif, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i limiti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; ii) studiare la derivabilit` a, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; iii) disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento. i) Da |x2−5| x+1 > 0 segue che D ={x> −1,x̸= √ 5}. Non ci sono simmetrie evidenti. f(x)≤ 0 se e solo se x> −1 e |x2− 5|≤ x + 1⇔−x− 1≤x2− 5≤x + 1⇔ { x2 +x− 4≥ 0 x2−x− 6≤ 0, cio` e se e solo se−−1+ √ 17 2 ≤x≤ 3. Si ha inoltre lim x→−1+ f(x) = +∞ lim x→ √ 5 f(x) =−∞ lim x→+∞ f(x) = +∞. Siccome lim x→+∞ f(x) x = 0, non ci sono asintoti obliqui, ma solo due asintoti verticali (oltre ad un asintoto orrizzontale “cos` ı alto che non si vede” (cit.)) ii) Le regole di derivazione possono essere applicate in tutto D, perch´ e il punto nel quale l’argomento del modulo si annulla non appartiene al dominio. Siccome f(x) = log|x2− 5|− log(x + 1) e ricordando che d dx log|g(x)| = g′(x) g(x) doveg(x)̸= 0, si ha per ogni x∈D f′(x) = 2x x2− 5− 1 x + 1 = x2 + 2x + 5 (x2− 5)(x + 1). Siccome il polinomio al numeratore ` e sempre positivo,f′(x)> 0, e quindif ` e crescente, se e solo sex> √ 5. Non ci sono punti di estremo. iii) Il grafico di f ` e in figura 1. 1 2 4 6 8 -2 -1 1 2 3 4 Figure 1: Il grafico di f (Tema 1). Esercizio 2 Si consideri la successione an = (−1)ne2n sin 1 n (n− 1)! , n ∈ N,n≥ 2. a) Calcolare limn→∞an; b) studiare la convergenza assoluta e la convergenza semplice della serie ∑∞ n=2an.…