30 04 2015

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Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano { Ingegneria informatica { Appello 30 Aprile 2015 Cognome: Nome: Matricola: T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. a. Fissato un sistema di riferimento, si considerino le due rette r : { hx − y + 1 = 0 (h − 1)x − y + z = 0 ; s : { −y + z = 0 2x − y − z − 2h + 2 = 0 : 1. Studiare la mutua posizione di r ed s al variare del parametro reale h: 2. Per i valori di h per cui le rette sono incidenti, trovare il punto di intersezione. 3. Verificato che per h = −1 le rette sono sghembe, trovare l’equazione cartesiana del piano contenente s e parallelo ad r. Soluzione 1. Soluzione 1. Le equazioni parametriche delle rette r ed s sono rispettivamente r :    x = t y = ht + 1 z = t + 1 ; s :    x = s + h − 1 y = s z = s : Pertanto i parametri direttori di r sono 1 ; h; 1, quelli di s sono 1 ; 1; 1, pertanto le due rette sono parallele se e solo se h = 1. Le due rette sono incidenti se e solo se il sistema    t = s + h − 1 ht + 1 = s t + 1 = s ` e possibile e questo avviene solo per h = 0, in tal caso il sistema ha la soluzione t = 0; s = 1. Per tutti gli altri valori di h le rette sono sghembe. Soluzione 2. Consideriamo il sistema lineare formato dalle equazioni cartesiane delle due rette date    hx − y + 1 = 0 (h − 1)x − y + z = 0 −y + z = 0 2x − y − z − 2h + 2 = 0 La matrice completa del sistema   h −1 0 −1 h − 1 −1 1 0 0 −1 1 0 2 −1 −1 2 h − 2   ha determinante 2 h(h − 1), pertanto per h ̸= 0 e h ̸= 1 ha rango 4. La matrice dei coefficienti ha al massimo rango 3, per cui per h ̸= 0 e h ̸= 1 il sistema ` e impossibile, quindi le rette non hanno punti comuni. Inoltre se…