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Analisi Matematica 1 e Geometria Seconda prova in itinere – 31/1/2017 Cognome: Nome: Matricola: Firma: Professore: Ing. Gestionale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ Esercizio 1. Sia assegnata la funzione /f.math(/x.math) = /e.math/x.math− 1 /e.math2/x.math+ 1 . a) Calcolare l’area /A.kalicompresa tra l’asse /x.mathe il grafico di /f.math(/x.math), quando /x.math∈ (−1/comma.math1). b) Stabilire il carattere dei due integrali ∫ +∞ 0 /f.math(/x.math) /d.math/x.mathe ∫ +∞ −∞ /f.math(/x.math) /d.math/x.math, specificandone il valore se convergenti. Soluzione: Osserviamo che /f.math(/x.math)> 0 se /x.math∈ (0/comma.math1) e /f.math(/x.math)< 0 se /x.math∈ (−1/comma.math0), pertanto /A.kali= ∫ 1 0 /f.math(/x.math) /d.math/x.math− ∫ 0 −1 /f.math(/x.math) /d.math/x.math; procedendo per sostituzione, si ha ∫ /e.math/x.math− 1 /e.math2/x.math+ 1 /d.math/x.math= [ /e.math/x.math=/t.math /d.math/x.math= 1 /t.math/d.math/t.math ] = ∫ /t.math− 1 /t.math2 + 1 1 /t.math/d.math/t.math [ osserviamo che /t.math− 1 /t.math(/t.math2 + 1) = /t.math+ 1 /t.math2 + 1− 1 /t.math ] = ∫ {/t.math+ 1 /t.math2 + 1− 1 /t.math } /d.math/t.math= 1 2 ln(/t.math2 + 1) + arctan/t.math− ln|/t.math|+C = 1 2 ln(/e.math2/x.math+ 1) + arctan(/e.math/x.math)−/x.math+C pertanto /A.kali= [ 1 2 ln(/e.math2/x.math+ 1) + arctan(/e.math/x.math)−/x.math ]1 0 − [ 1 2 ln(/e.math2/x.math+ 1) + arctan(/e.math/x.math)−/x.math ]0 −1 = 1 2 ln(/e.math2 + 1) + arctan/e.math− 1− 1 2 ln 2− arctan 1+ − ( 1 2 ln 2 + arctan 1− 1 2 ln(/e.math−2 + 1)− arctan(/e.math−1)− 1 ) = ln /e.math2 + 1 2 − 1≃ 0/period.math43378/period.math…