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Metodi Analitici e Numerici per l’Ingegneria - A.A. 2022/2023 - 20/7/2023 • Non si possono consultare libri, note, ed ogni altro materiale o persone durante l’esame ad eccezione delle funzioni Matlab fornite. • Risolvere i seguenti esercizi con l’ausilio di Matlab. • La durata del compito ` e di 90 minuti. • Questo esame ha 3 domande, per un totale di 30/30 punti. • Svolgere gli esercizi su fogli protocollo, indicando: nome, cognome, codice persona e data • Per ciascun esercizio consegnare su webeep un file nominato, ad esempio, “eser- cizio1.m” con il codice Matlab sviluppato. • Per utilizzare le funzioni Matlab sviluppate durante il corso e fornite per l’esame, ` e necessario aggiungere la cartella con il comando addpath functions2023 . Esercizio 1 (punti 10) Si consideri il seguente problema di Cauchy mx′′(t) +sx′(t) +kx(t) =f(t) 0 <t< 10 x(0) = 0 x′(0) = 1 (1) dovem = 1, s = 2, k = 10 e f(t) = sin(t). (a) (2 punti) [T] Si scriva il problema di Cauchy (1) come un sistema del prim’ordine. Soluzione. Il problema (1) consiste in una equazione del second’ordine, che pu` o essere trasformata indue equazioni del primo ordine definendo: { y′(t) = F (t, y) y(0) = y0. il vettore y ` e un vettore colonna di due componenti y(t) = (y1(t), y2(t))T tale per cui y1 =x y2 =x′. La funzione F ` e definita nel seguente modo F (t, y) = [ y2 − k my1− s my2 + f (t) m , ] Metodi Analitici e Numerici per l’Ingegneria - A.A. 2022/2023 - 20/7/2023 ed il vettore dei valori iniziali ` e composto da y0 = (x(0),x′(0))T . Notiamo inoltre che sfruttando la linearit` a in y il vettore forzante F si pu` o esprimere come: F (t, y) =M [ y1 y2 ] + [ 0 f(t) ] dove M = [ 0 1 −km−1 −sm−1 ] (b) (3 punti) [T] Introdurre il θ-metodo per la discretizzazione per un sistema di equazioni differenziali ordinarie,…