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Soluzioni Mani 11/9/2023 Parte A. A.1 Data la legge di conservazione u t + uux = 0 x ∈ R, t > 0, dire a quale dato iniziale tra g1 (x) =
0 x < 0 −1 x > 0 e g2 (x) =
−1 x < 0 0 x > 0 corrisponde un’onda d’urto e determinarne l’equazione x = s (t) . Risposta. A g1, poichè q′ (u) = u è crescente e g1 è decrescente. Per la condizione di Rankine- Hugoniot si ha, essendo q (u) = u2/2: s′ (t) = q (−1) − q (0) −1 − 0 = − 1 2 ed essendo s (0) = 0 , l’equazione dell’onda d’urto è s (t) = − 1 2 t. A.2 Risolvere con la trasformata di Laplace, il problema di Cauc hy y′′ (t) = 6 ( t − 1) H (t − 1) y (0) = 0 , y ′ (0) = 0 . Risposta. Sia Y (s) = L [y] (s) . Abbiamo le formule L [y′′] (s) = s2Y (s) − sy (0) − y′ (0) = s2Y (s) e L [(t − 1) H (t − 1)] (s) = e−s s2 . Applicando la trasformata di Laplace ad entrambi i membri de ll’equazione dif- ferenziale si trova quindi Y (s) = e−s 6 s4 = e−s 3! s3+1 . Antitrasformando si ha: y (t) = ( t − 1)3H (t − 1) . 1 Parte B . B.1. Si consideri il seguente problema di Neumann-Robin:  −2 ((sinx + 1) u′)′ + 3u = 1 4√x 0 ≤ x ≤ π/2 −u′ (0) = 0 , 2u′ (π/2) + u (π/2) = 2 . Dimostrare esistenza ed unicità della soluzione debole tra mite il Teorema di Lax-Milgram. In particolare: a 1) Ricavare la formulazione debole riportando il procedimeto per otten- erla, giustificando tutti i passaggi e le scelte e mettendo in evidenza lo spazio funzionale, la forma bilineare e il funzionale lineare. Trattandosi di un problema misto Neumann-Robin, non è neces sario rilevare i dati al bordo e lo spazio funzionale corretto è V = H1 (0, π/2) . Scelta una funzione v test in V , si moltiplica per v l’equazione differenziale e si integra su (0, π/2) : −2  π/2 0 ((sin x + 1) u′ (x))′ v (x) dx + 3  π/2 0 u (x) v (x) dx =  π/2 0 1 4√x v (x) dx. Integriamo per parti il…