AG2 20230201 ParteC

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Analisi e Geometria 2 - Parte C Quinto appello Docente: □ M. Boella □ M. Citterio 1 febbraio 2023 Cognome: Nome: Cod. persona: Firma: Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici, apparecchiature elettroniche. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Tempo massimo a disposizione: 60 minuti. 1. a. Enunciare i principali teoremi sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine. b. Si consideri l’equazione differenziale y′′ − 2y = 2 tan3 x ; ˆ provare che y(x) = tan x ` e una soluzione; ˆ scrivere la soluzione generale dell’equazione differenziale, motivando i passaggi. 2. Siano V e W due spazi vettoriali e sia f : V → W una applicazione lineare. a. Dare la definizione di nucleo ker f . b. Provare che ker f ` e un sottospazio vettoriale diV . c. Enunciare e provare il teorema che lega iniettivit` a e nucleo di f . 3. a. Enunciare il teorema “nullit` a + rango”. b. Provare che non esistono applicazioni lineari iniettive da R3 a R2 . c. Il teorema “nullit` a + rango” viene utilizzato per dimostrare diversi teoremi. Si enunci e dimosti uno di questi risultati. 4. a. Enunciare la formula di Taylor del secondo ordine, centrata nel punto ( x0, y0) ∈ D ⊆ R2 per una funzione f : D → R . b. Illustrare l’utilizzo della matrice hessiana per lo studio dei punti stazionari di una funzione reale di due o pi` u variabili reali. c. Scrivere lo sviluppo di Taylor del secondo ordine, centrato nel punto (0 , 0) per la funzione f(x, y) = ex+3y2 . 5. Sia D un sottoinsieme aperto e connesso di R2 e sia F : D → R2 un campo vettoriale di classe C1(D) . a. Dare la definizione di rotore e di irrotazionalit` a di F . b. Scrivere la definizione di conservativit` a diF . c. Stabilire e mostrare la relazione che sussiste tra conservativit` a e…