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Es. 1 (10 punti) Es. 2 (12 punti) Es. 3 (6 punti) Es. 4 (5 punti) T otale Algebra lineare e Geometria Appello di settembre Ingegneria Matematica 5 settembre 2016 Cognome: Nome: Matricola: T utte le risposte devono essere giusti cate. Non e consentito l'uso di cellulari o di altri apparecchi elettronici. 1. Si consideri il sistema lineare 8 >< >: x y = k + 6 x + 2y = 2k + 5 x + 3y = 2k 4 (a) Per quali valori di k il sistema ammmette soluzioni? Per tali valori trovare le soluzioni del sistema. (b) Posto k = 0, trovare le soluzioni ai minimi quadrati del sistema. 2. Determinare il valore minimo m e il valore massimo M di q(x; y; z) = 8 y2 + 3z2 + 8xy + 2xz + 14yz sulla sfera unitaria S = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 = 1g. Trovare v; w 2 S tali che q(v) = m e q(w) = M . 3. Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali 4 4 e sia L : V ! V l'applicazione lineare L(A) = AT . (a) Si descrivano le matrici che sono autovettori di L relativamente all'autovalore 1 e all'autovalore 1. Si calcolino quindi le dimensioni degli autospazi di L relativi agli autovalori 1 e 1. (b) Esiste una base di V formata da autovettori di L? Qual e il polinomio caratteristico di L? Si giusti chi la risposta. 4. Si ricordi che una matrice quadrata E si dice antisimmetrica se ET = E. Sia E una matrice 3 3 antisimmetrica a elementi reali. Mostrare che il determinante di E e uguale a zero. Dedurre quindi che esistono una matrice ortogonale Q e un numero reale b tali che QT EQ = 2 4 0 0 0 0 0 b 0 b 0 3 5 (suggerimento: la prima colonna di Q e un versore contenuto nel nucleo di E). Concludere che il rango di E e 0 oppure 2. Es. 1 (10 punti) Es. 2 (12 punti) Es. 3 (6 punti) Es. 4 (5 punti) T otale Algebra lineare e Geometria Appello di settembre Ingegneria Matematica 5 settembre 2016…
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