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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prima Prova Intermedia Docente: I. Sabadini 4 Maggio 2015 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Sia A = [ 1 2 3 2 ] e si consideri l'applicazione lineare L : MR(2; 2) ! MR(2; 2) de nita da L(X) = AX XA. a) Scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alla base canonica di MR(2; 2); b) Determinare nucleo e immagine di L precisandone la dimensione e una base; c) Stabilire se la matrice B = [1 1 3 1 ] ammette controimmagini tramite L e, in caso affermativo determinare la bra sopra B. 2. Si considerino la matrice A = 2 664 1 3 3 5 0 1 0 2 1 4 3 7 1 2 2 3 3 775 e il vettore b = [3; h; 2h + 1; 1]T . a) Determinare per quali valori di h 2 R il il sistema lineare Ax = b ammette soluzioni. b) In corrispondenza dei valori di h trovati al punto precedente, determinare tutte le soluzioni del sistema. c) Stabilire se il vettore c = [1; 2; 1; 3]T appartiene allo spazio colonna di A. 3. Determinare le equazioni della retta passante per il punto P (1; 0; 1) e perpendicolare alla retta r di equazioni x + y + z 4 = 0, y z 1 = 0 e alla retta s di equazioni 2x y + 4 = 0, y z = 0. 4. Siano U , W , Z sottospazi di uno spazio vettoriale V su K. Stabilire se l'uguaglianza U \ (W + Z) = ( U \ W ) + (U \ Z)  e vera o falsa, dimostrando l'affermazione o fornendo un controesempio. (Eventualmen- te usare il retro del foglio). Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prima Prova Intermedia Docente: I. Sabadini 4 Maggio 2015 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto…