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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 29 Giugno 2015 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Dato il sistema lineare 8 >< >: x + y = 2 2x y = 0 x + 3y = 1 (1) (a) veri care che il sistema  e sovradeterminato; (b) scrivere le equazioni normali del sistema e, dopo aver stabilito che la soluzione ai minimi quadrati del sistema  e unica, determinarla; (c) determinare il vettore appartenente allo spazio colonna della matrice dei coefficienti del sistema avente distanza minima da [2 ; 0; 1]T. 2. Sia A = 2 4 3 1 1 1 4 0 1 0 4 3 5 : (a) Determinare autovalori e autovettori di A. (b) Posto ⟨x; y⟩ = xTAy, mostrare che ⟨x; y⟩  e un prodotto scalare su R3. (c) Descrivere la frontiera dell'intorno di raggio 1 dell'origine, con la norma indotta dal prodotto scalare appena de nito, ossia descrivere l'insieme D = fx 2 R3 : ⟨x; x⟩ = 1g: 3. Si consideri la matrice A = 2 664 1 1 1 0 1 4 2 4 1 2 1 1 0 4 1 3 3 775 ; (a) Trovare la dimensione e una base dei sottospazi Col( A), Row( A), Row( A)?; (b) Sia B una matrice quadrata tale che Col( B) = Row( B). E vero che questo implica B = BT? Dimostrare l'affermazione se  e vera o esibire un controesempio se  e falsa. 4. (Usare il retro del foglio). Sia A una matrice quadrata reale di ordine 2. Determinare gli autovalori di A sapendo che det( A 3I) = 0, det( A + I) = 0. Determinare poi gli autovalori di A nel caso in cui det( A 3I) = 0, det( A + I) = 1.