alg lin 2016 02 11 soluzioni

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 11 F ebbraio 2016 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Sia V = R2[x] lo spazio vettoriale reale dei polinomi di grado minore o uguale a 2. (a) veri care che i polinomi p1(x) = x2 3x + 1, p2(x) = x2 + 2, p3(x) = 4x + 1 formano una base B di V ; (b) veri care che L : V ! V de nita da L(p(x)) = x2p ′′ (x) + p(0)  e un'applicazione lineare; (c) scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alla base B; (d) scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alla base canonica f1; x; x2g. Soluzione. (a) Fissata la base (ordinata) f1; x; x2g, i tre polinomi assegnati si possono scrivere tramite le loro coordinate in R3, ottenendo v1 = [1 ; 3; 1]T , v2 = [2 ; 0; 1]T , v3 = [1 ; 4; 0]T . La matrice P ottenuta accostando sulle colonne v1; v2; v3 ha rango 3 pertanto i tre vettori sono linearmente indipendenti quindi formano una base di R3. Di conseguenza, i tre polinomi dati formano una base di V . (b) Siano p1(x), p2(x), p(x) polinomi in V e sia t 2 R. Abbiamo L((p1 + p2)(x)) = x2((p1 + p2) ′′ (x)) + (p1 + p2)(0) = x2p ′′ 1 (x) + x2p ′′ 2 (x) + p1(0) + p2(0) = L(p1(x)) + L(p2(x)); L(tp(x)) = x2((tp) ′′ (x)) + (tp)(0) = tx2p ′′ (x)) + tp(0) = tL(p(x)); quindi L  e un'applicazione lineare. (d) La matrice rappresentativa A rispetto alla base canonica (ordinata) f1; x; x2g si trova facilmente, poich e: L(1) = 0 + 1 = 1 ; L(x) = 0 + 0 = 0 ; L(x2) = x2
2 + 0 = 2 x2: Si ottiene A = 2 4 1 0 0 0 0 0 0 0 2 3 5 : (c) La matrice rappresentativa A′ rispetto alla base (ordinata) B si pu o…