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Parte A Es. 1 Es. 2 T otale Metodi Analitici e Numerici 11 luglio 2022 Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Energetica Cognome: Nome: Matricola: Parte A. A.1 Senza calcolare esplicitamente la soluzione , stabilire il comportamento per t→ +∞ della soluzione (cio` e, trovare - se esiste - la soluzione stazionaria) del seguente problema di Cauchy-Neumann per l’equazione del calore, fornendo un’interpretazione fisica della risposta:    ut−uxx = 0 x∈ (0, 2), t∈ (0, +∞), ux(0,t ) = 0, u x(2,t ) = 1 t∈ (0, +∞), u(x, 0) = 0 x∈ (0, 2). Soluzione: Secondo l’interpretazione fisica dell’equazione del calore, in questo modello la sbarra di lunghezza 2 non riceve calore entrante dall’estremo fisso in 0 (flusso di calore nullo), mentre dall’esterno riceve calore in maniera costante nell’estremo fisso in x = 2 (flusso di calore entrante costante uguale a 1). Inoltre, per effetto diffusivo il calore si propaga istantaneamente a tutta la sbarra. In tal modo, la temperatura ` e destinata ad aumentare in ogni punto e si pu` o dunque affermare che lim t→+∞ u(x,t ) = +∞ ∀ x∈ [0, 2]. A.2 La funzione f(x) = { −2x x ∈ (−1, 0) x2 + 1 x∈ [0, 1) ` eH 1(−1, 1)? Motivare adeguatamente la risposta. Soluzione: Lo spazio di SobolevH 1(−1, 1) ` e formato da tutte e sole le funzioniL2(−1, 1) che hanno derivata debole in L2(−1, 1). Per prima cosa, si nota che la funzione f non ` e continua in (−1, 1) perch´ e presenta una discontinuit` a a salto in x = 0, dunque f non ` e nemmeno di classe C 1(−1, 1). La funzione f risulta per` oL2(−1, 1) perch´ e ` e a quadrato integrabile: infatti, f 2 risulta una funzione limitata sull’intervallo (−1, 1), perci` o integrabile. La funzione f non appartiene allo spazio di Sobolev H 1(−1, 1), in quanto la sua derivata debole sviluppa una delta di Dirac in 0 a causa…