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Paerte A Es. 1 Es. 2 T otale Metodi Analitici e Numerici 22 Giugno 2022 Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Energetica Cognome: Nome: Matricola: Parte A. A.1 Sia u una funzione armonica su B ={(x,y ) :x2 +y2 < 4} e tale che u(x,y ) =y2 per (x,y )∈∂B1 ={(x,y ) :x2 +y2 = 1}. Determinare u(0, 0) motivando brevemente la risposta. La funzione ` e armonica inB2 eB1⊂B2, quindi u gode della propriet` a della media. In particolare, u(0, 0) = 1 2πR ∫ ∂BR udσ ∀R∈ (0, 2). ScelgoR = 1 e calcolo u(0, 0) = 1 2π ∫ ∂B1 y2dσ = 1 2π ∫ 2π 0 sin2θdθ = 1 2ππ = 1 2. A.2 Si mostri un esempio di funzione che ammette derivata debole su (−1, 1), ma non derivata classica. Motivare adeguatamente la risposta. Sia f(t) = { 0 t∈ (−1, 0) t t ∈ [0, 1). Allora f non ammette derivata classica in (−1, 1) per la presenza del punto angoloso. Per` o f ammette derivata debole: ` e la funzione H(t) = { 0 t∈ (−1, 0) 1 t∈ (0, 1). Infatti, verifico con la definizione che per ogni v∈C 1 0(−1, 1) si ha ∫ 1 −1 f(t)v′(t)dt = ∫ 1 0 f(t)v′(t)dt = ∫ 1 0 tv′(t)dt =tv(t) ⏐⏐t=1 t=0− ∫ 1 0 v(t)dt =− ∫ 1 0 v(t)dt =− ∫ 1 −1 H(t)v(t)dt, cio` ef′ =H in senso debole. 1 A.3 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = { e3x x< 0 e−2x x> 0. Suggerimento: Si usi la linearit` a come primo passo e la formula del ritardo per calcolare la trasformata dell’esponenziale su{x< 0}. Siano g(x) = { e−2x x≥ 0 0 x< 0 e h(x) = { e3x x≤ 0 0 x> 0. Allora f(x) =g(x) +h(x). Si ha che F(g(x))(ν) = 1 2 +i2πν eF(h(x))(ν) = 1 3−i2πν , perci` o F(f(x))(ν) = 1 2 +i2πν + 1 3−i2πν A.4 Si consideri il seguente problema di Cauchy { y′(t) =− cos(2t) +e3t− 3y(t) t∈ (0, +∞) y(0) =−3 . Si trasformi tale problema mediante la trasformata di Laplace e si riporti l’espressione per Y (s) = L[y(t)](s). Applicando l’operatoreL all’equazione si ottiene…