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Parte A Es. 1 Es. 2 T otale Metodi Analitici e Numerici 31 Agosto 2022 Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Energetica Cognome: Nome: Matricola: Parte A. A.1 Dato il seguente problema di Cauchy-Dirichlet, trovare la soluzione a regime, motivando brevemente la risposta:    ut−uxx = 0 x∈ (0, 1), t∈ (0, +∞), u(0,t ) =−1, u (1,t ) = 1 t∈ (0, +∞), u(x, 0) =x2−x + 1 x∈ (0, 1). Soluzione: Il modello descrive la diffusione del calore in una sbarra omogenea e isotropa che non ha interazioni con l’ambiente esterno (sorgente esterna di calore nulla: f(x) = 0), ai cui estremi sono applicati due termostati che tengono la temperatura costante nel tempo: nell’estremo x = 0 temperatura costante pari a −1 e nell’estremo x = 1 temperatura costante pari a 1. La sbarra dunque risentir` a solo di due effetti: l’effetto diffusivo della condizione iniziale che tender` a a scomparire per tempi lunghi e l’azione dei termostati agli estremi che ` e costante nel tempo. Dunque l’effetto diffusivo porter` a per tempi lunghi ad una soluzione lineare stazionaria pari a u(x,t ) = 2x− 1. A.2 La funzione f(x) = 1 3√x ` eL2(0, 1)? Motivare adeguatamente la risposta. Soluzione: Lo spazio L2(0, 1) ` e lo spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato Lebesgue– integrabile. In particolare, a questo spazio appartengono tutte le funzioni che hanno il quadrato Riemann–integrabile in senso improprio, come la funzione data. Infatti, il quadrato di f in x = 0 ` e un infinito di ordine − 2 3 >−1, mentre fuori da un intorno destro di x = 0 ` e limitata. Ne segue che f 2 ` e Riemann–integrabile in senso improprio sull’intervallo (0, 1) e quindi f∈L2(0, 1). 1 A.3 Date f(x) = { e−2x x> 0 0 x< 0 e g(x) = { 0 x> 0 e2x x< 0, calcolare la trasformata di Fourier del loro prodotto di convoluzione f∗g. Soluzione: La…