Appello 11settembre2020

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Informazione e stima – 11/09/2020 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. • Nominare il file da caricare con il proprio codice persona. • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Un docente deve formare 4 gruppi di 4 persone scegliendo tra 4 tutor e 12 studenti. Qual ` e la probabilit` a che in ogni gruppo ci sia esattamente un tutor, se le formazioni dei gruppi sono fatte in modo casuale? 2 Due variabili aleatorie X e Y hanno legge di probabilit` afX,Y (x,y ) =c nella regioneR in figura. Deter- minare: (a) il valore della costante c. (b) Le leggi marginali di X e Y e graficarle. (c) La legge fY|X(y|1.5) e graficarla. x0 4321 1 2 3 y R 3 Sia X∼ Exp(1) e Yn =X/n per n≥ 1. Dire se la successione di v.a. {Yn}n converge in probabilit` a e, in caso affermativo, a quale valore. 4 I clienti di una libreria vengono serviti secondo un processo di Poisson con un ritmo di λ utenti all’ora. Ogni cliente compra un libro con probabilit` ap, indipendentemente da tutto il resto. Trovare: (a) la legge di probabilit` a del tempo al primo acquisto; (b) la probabilit` a che nessun libro venga venduto in un’ora; (c) il numero atteso di clienti che comprano un libro tra le 12:00 e le 13:30. 5 Il numero Θ di carrelli di un supermercato ` e uniformemente distribuito tra 1 e 100. I carrelli sono numerati sequenzialmente da 1 a Θ. Quando entrate nel supermercato, osservate il numero X sul carrello che prendete, assunto uniformemente distribuito nell’intervallo da 1 a Θ, e usate questa informazione per stimare il valore di Θ. Determinare e graficare lo stimatore MAP ˆΘMAP(X). 6 Si considerino n = 10 8 lanci indipendenti di…