ProvaItinere 06luglio2018 compitoAB

Page 1

Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 06/07/2018 – Compito A • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola, e tipo di compito svolto su ogni foglio consegnato • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Due squadre di calcio si affrontano in una partita, e segnano dei goals secondo due processi di Poisson indipendenti di intensit` aλ1 = 2/90 e λ2 = 1/90 goal/minuto, rispettivamente. Calcolare (a) il numero medio di goal totali segnati nel primo tempo (b) sapendo che la squadra 1 ha segnato 2 goals, la probabilit` a che vinca la squadra 1 (c) supponendo che ogni goal segnato provenga da un calcio di rigore con probabilit` a 0 .2 in maniera indipendente dagli altri goals, la probabilit` a che venga segnato pi` u di un calcio di rigore in una partita. 2 Sia X un processo Gaussiano tempo-continuo con media nulla E[X(t)] = 0 per ogni t e funzione di autocorrelazione RXX (t1,t 2) = E[X(t1)X(t2)]. Si considerino i tempi di campionamento ti = i, per i = 1, 2,··· , e il processo tempo-discreto Y costituito dalle v.a. Yi = { 1 X(ti)≥ 0, 0 X(ti)< 0, i = 1, 2,··· . Dire quali sono le condizioni che RXX deve soddisfare affinch´ e il processoY sia un processo di Bernoulli. Sotto tali condizioni, qual ` e la probabilit` a di successo ({Yi = 1}) della singola prova di Bernoulli? Suggerimento: usare la definizione di processo di Bernoulli e verificare le condizioni. 3 Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in figura. La catena si trova nello stato 1 al tempo 0. La probabilit` a di transizionep pu` o essere un qualunque numero in [0, 1]. (a) Classificare gli…