Appello 13gennaio2021

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Informazione e stima – 13/01/2021 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. • Nominare il file da caricare con il proprio codice persona. • Indicare l’esercizio da escludere dal punteggio finale. 1 Si pescano 5 carte da un mazzo ben mescolato di 52 carte. Qual ` e la probabilit` a di ottenere una doppia coppia? 2 Due variabili aleatorie X e Y hanno legge di probabilit` afX,Y (x,y ) = c nel disco di raggio r centrato nell’origine. Determinare: (a) il valore della costante c. (b) Le legge di T =X 2 +Y 2. (Suggerimento: calcolare la legge cumulata di T , e ragionare sul significato geometrico dell’evento associato alla cumulata) 3 Siano X1,X 2,··· ,X 1000 delle v.a. i.i.d. con Xi∼ Exp(1), i = 1,..., 1000. Calcolare una stima accurata di Pr(∑1000 i=1 Xi≤ 1017). 4 Si consideri un processo di Bernoulli con parametro p = 1/3. Ogni 3 arrivi, si smista l’arrivo in un nuovo processo. (a) Il nuovo processo ` e di Bernoulli? Giustificare la risposta. (b) Come sono distribuiti i tempi di interarrivo nel nuovo processo? 5 Si vuole determinare numericamente il valore di I = Pr(0≤X≤ 1), dove X∼ Exp(λ). Partendo da un generatore di campioni distribuiti come U∼U [0, 1], proporre un algoritmo che produce una stima ˆI diI. 6 Si consideri la v.a. X che conta il numero di lanci di un dado ben bilanciato per ottenere il risultato 1. Mediamente quanti bit di informazione sono prodotti dall’osservazione di X? Soluzioni Problema 1 I casi totali sono (52 5 ) . Per contare i casi favorevoli, procediamo come segue. Essendoci 13 valori diversi nel mazzo di 52, bisogna scegliere: • i 2 valori tra i 13 disponibili che formeranno la…