Appello 15febbraio2020

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 15/02/2020 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Si consideri il risultato X del lancio di un dado bilanciato a 6 facce. Successivamente, si lanci una moneta bilanciata X volte. Qual ` e la probabilit` a di ottenere esattamente una testa (a) dopo aver osservato X, (b) prima di conoscere X. 2 Sia Z = (X +Y )2, con X∼Y ∼U [−1, 1] e X e Y indipendenti. Calcolare la legge di probabilit` a diZ. Suggerimento: calcolare prima la legge di X +Y . 3 Sia X∼U [0, 1] e Yn =nX n per n∈ N. Determinare se la successione {Yn}n converge in probabilit` a, e, in caso affermativo, a quale numero. 4 Si hanno due monete A eB le cui probabilit` a di dare testa sonopA epB, rispettivamente. Ad ogni istante di tempo si lanciano le monete contemporaneamente, e se si ottengono due teste si decide di continuare a lanciare solamente una delle due monete, scelta a caso. La moneta rimanente viene lanciata finch´ e non si ottiene un’altra testa. Qual ` e il numero medio di turni di durata del gioco? 5 Partendo da un generatore di variabili aleatorie Un∼U [0, 1], proporre un algoritmo di Importance Sam- pling per calcolare I = ∫∞ 1 e−x x dx. Suggerimento: fare attenzione al dominio di integrazione. 6 Siano X1,X 2,...,X n variabili aleatorie discrete e indipendenti tra loro e identicamente distribuite con Xi∼U{ 1, 2,...,M }. Calcolare l’entropia H(X1,X 2,...,X n). Soluzioni Problema 1 Sia Nx il numero di teste ottenute dopo aver osservato X =x. Si ha che Nx∼…