Appello 17giugno2020

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 17/06/2020 ˆ Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. ˆ Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. ˆ Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. ˆ Nominare il file da caricare con il proprio codice persona ˆ Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Si consideri un mazzo ben mescolato di 52 carte da poker, e si estraggano 10 carte dal mazzo. Sapendo che la quarta carta estratta ` e il re di picche, qual ` e la probabilit` a che la decima carta estratta (a) sia un asso? (b) sia il secondo re estratto? Il mazzo contiene 4 assi e 4 re. 2 Da una stazione ferroviaria ogni ora partono due treni regionali per Brescia, sempre agli stessi minuti x e y. In fase di progetto, i valori di X = x e Y = y sono stati scelti secondo X∼ Y ∼U [0, 60], con X e Y indipendenti. Se si arriva alla stazione quando la lancetta dei minuti segna un valore Z∼U [0, 60], indipendente da X e Y , qual ` e la probabilit` a di aspettare la partenza di un treno per pi` u di mezz’ora? Suggerimento: immaginarsi di disporre i punti X, Y e Z su una circonferenza. 3 Sia X∼ Exp(1). Calcolare Pr(cos(πX)> 0.5). 4 Un supermercato ha deciso di assegnare un biglietto di lotteria istantanea per ogni scontrino emesso. Ogni biglietto ` e vincente con probabilit` a 1/100. Supponendo che ci siano 10 casse, e che ogni cassa emetta scontrini secondo un processo di Poisson con intensit` a 10 scontrini ogni ora, indipendentemente dalle altre casse, qual ` e la legge di probabilit` a del numero totale di biglietti vincenti in 10 ore? 5 Sia{Xn}∞ n=1 una successione di variabili aleatorie con Xn∼N (0, 1/n). Sia {Yn}∞ n=1 una successione di variabili aleatorie tale che Yn =eXn. Dire se {Yn} converge…